Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Teiltest/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 8 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 8 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen den $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Eine \stichwort {invertierbare} {} $n \times n$-Matrix $M$ über einem Körper $K$.
}{Der \stichwort {Dualraum} {} zu einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Die \stichwort {Determinante} {} einer $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$.
}{Die \stichwort {Permutationsgruppe} {} zu einer Menge $M$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {
\mathl{\varphi(u+v)= \varphi(u) + \varphi(v)}{} für alle
\mathl{u,v \in V}{.}
} {
\mathl{\varphi(s v)=s \varphi(v)}{} für alle
\mathkor {} {s \in K} {und} {v \in V} {.}
}
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \defeq} {{ \left\{ v \in V \mid \varphi(v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Kern von $\varphi$.
}{Die Matrix $M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \circ M
}
{ =} {E_{ n }
}
{ =} {M \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Unter dem Dualraum zu $V$ versteht man den
\definitionsverweis {Homomorphismenraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { V }^{ * }
}
{ =} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zu
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} sei $M_i$ diejenige
\mathl{(n-1)\times (n-1)}{-}Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die erste Spalte und die $i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von $M$ durch
\mathdisp {\det M = \begin{cases} a_{11}\, , & \text{falls } n = 1 \, , \\ \sum_{i =1}^n(-1)^{i+1} a_{i1} \det M_i & \text{ für } n \geq 2 \, . \end{cases}} { }
}{Man nennt die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Aut} \, (M)
}
{ =} {\operatorname{Perm} \, (M)
}
{ =} { { \left\{ \varphi:M \longrightarrow M \mid \varphi \text{ bijektiv} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu $M$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Dimensionsformel} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {.}}{Der \stichwort {Determinantenmultiplikationssatz} {.}}{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Unter der Bedingung, dass $V$ endlichdimensional ist, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } + \dim_{ K } { \left( \operatorname{bild} \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.} Dann gilt für Matrizen
\mathl{A,B \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( A \circ B \right)
}
{ =} { \det A \cdot \det B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in K}{} und $n$ Elemente
\mathl{b_1 , \ldots , b_n \in K}{} gegeben. Dann gibt es ein Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} derart, dass
\mathl{P(a_i)= b_i}{} für alle $i$ ist.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume
\mathl{U_1,U_2,U_3}{} in einem Vektorraum $V$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ U_1+U_2+U_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_i \cap U_j
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {K^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1
}
{ = }{ Ke_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_2
}
{ = }{ Ke_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_3
}
{ = }{ K \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Summe der drei Unterräume ist $K^2$, da dies schon für die ersten beiden Unterräume gilt. Da die drei Vektoren paarweise linear unabhängig sind, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_i \cap U_j
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{i \neq j}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1 +U_2
}
{ =} {K^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(U_1+U_2) \cap U_3
}
{ =} {U_3
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist die Summe nicht direkt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
zwischen den
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi( -v)
}
{ = }{- \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v) + \varphi(-v)
}
{ =} { \varphi(v-v)
}
{ =} { \varphi(0)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher sind
\mathkor {} {\varphi(v)} {und} {\varphi(-v)} {}
zueinander invers, und wegen der Eindeutigkeit des Negativen folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(-v)
}
{ =} {- \varphi(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (1+1+1+2)}
{
Ein Zug ist $500$ Meter lang \zusatzklammer {ohne Lokomotive} {} {} und bewegt sich mit $180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von $20$ Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne. \aufzaehlungvier{Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge? }{Welche Geschwindigkeit \zusatzklammer {in Meter pro Sekunde} {} {} hat Lucy bezogen auf die Umgebung? }{Welche Entfernung \zusatzklammer {in Meter} {} {} legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück? }{Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy währ\-end ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt. }
}
{
\aufzaehlungvier{Lucy benötigt $25$ Sekunden für den $500$ Meter langen Zug.
}{In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 180 000 }{ 3600 } }
}
{ =} {{ \frac{ 180 0 }{ 36 } }
}
{ =} { 50
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die beiden Bewegungen sich überlagern, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich $70$ Meter pro Sekunde.
}{In den $25$ Sekunden legt der Zug
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{25 \cdot 50
}
{ =} { 1250
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Meter zurück.
}{Man kann die vom Zug und die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke addieren, dies ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1250 +500
}
{ =} { 1750
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 25 \cdot 70
}
{ =} { 1750
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Meter.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (1+1+2)}
{
Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
\aufzaehlungvier{Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5 \%$ wechseln zu $C$ und $5 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20 \%$ wechseln zu $C$ und $10 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10 \%$ wechseln zu $B$ und $20 \%$ werden Nichtleser.
}{Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von
\mathl{A,B}{} oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
}
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100 000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen \zusatzklammer {und wie viele Nichtleser gibt es noch} {} {} nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
}
{
a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen
\zusatzklammer {in der Reihenfolge
\mathl{A,B,C}{} und Nichtleser} {} {}
beschreibt, ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix}} { . }
b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung
\mathl{(20000,20000,20000,40000)}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 20000 \\20000\\ 20000\\40000 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 22000 \\20000\\ 23000\\35000 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Die Ausgangsverteilung ist
\mathl{(0,0,0,100000)}{,} daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich
\mathl{(10000,10000,10000,70000)}{.}
Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10000 \\10000\\ 10000\\70000 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 16000 \\15000\\ 16500\\52500 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0 & 0,1 \\ 0,1 & 0,6 & 0,1 & 0,1 \\ 0,05 & 0,2 & 0,7 & 0,1 \\ 0,05 & 0,1 & 0,2 & 0,7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 16000 \\15000\\ 16500\\52500 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 12800+1500+5250 \\1600+9000+1650+5250\\ 800+3000+11550+5250\\800+1500+3300+36750 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 19550 \\17500\\ 20600\\42350 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^3} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & 2 \\ 3 & -2 & 7 & -1 \\ 2 & -1 & -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } {.}
}
{
Es geht darum, das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &
+ y &
+5 z &
+2 w & = & 0 \\
3 x &
-2 y &
+7 z &
\, \, \, \, - w & = & 0 \\
2 x &
\, \, \, \, - y &
-4 z &
+3 w & = & 0 \,
\end{matrix}} { }
zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable $y$. Das resultierende System ist
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ II'
}
{ = }{ II +2I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ III'
}
{ = }{ III+I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &
+ y &
+5 z &
+2 w & = & 0 \\
7 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+17 z &
+3 w & = & 0 \\
4 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
+5 w & = & 0 \, .
\end{matrix}} { }
Wir eliminieren nun aus $II'$ mittels $III'$ die Variable $z$, das ergibt
\zusatzklammer {$II' -17 III'$} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &
+ y &
+5 z &
+2 w & = & 0 \\
4 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
+5 w & = & 0 \\
-61 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
-82 w & = & 0 \, .
\end{matrix}} { }
Wir können jetzt dieses System lösen, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die anderen Variablen eindeutig festlegt. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ 82
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ -61
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { -4x-5w
}
{ =} { - 4 \cdot 82 - 5 (-61)
}
{ =} { - 328+305
}
{ =} { -23
}
}
{}{}{.}
Schließlich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ =} { -2x-5z-2w
}
{ =} { -2(82) -5 (-23) -2 (-61)
}
{ =} { -164 +115 + 122
}
{ =} { 73
}
}
{}{}{.}
Die Lösungsmenge, also der Kern, ist somit
\mathdisp {{ \left\{ s \begin{pmatrix} 82 \\73\\ -23\\-61 \end{pmatrix} \mid s \in \R \right\} }} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{
\matabellezweisechs {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\0 & 0 & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 & 0 \\ -{ \frac{ 1 }{ 4 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & { \frac{ 3 }{ 2 } } \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & 0 & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 4 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 & -2 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & 0 & 0 \\ - { \frac{ 1 }{ 2 } } & -1 & 3 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 & -2 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 2 } } & 2 & -6 \\ - { \frac{ 1 }{ 2 } } & -1 & 3 \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & 1 & -2 \end{pmatrix}
} }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde
\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.
}
{
Wir multiplizieren die gegebene Matrix nacheinander mit Elementarmatrizen, bis sich die Einheitsmatrix ergibt. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - { \frac{ 5 }{ 4 } } & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & { \frac{ 12 }{ 11 } } \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 4 } } & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 4 }{ 11 } } \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 4 }{ 11 } } \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 4 } } & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & { \frac{ 12 }{ 11 } } \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - { \frac{ 5 }{ 4 } } & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8 (4+4)}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
a) Zeige, dass es
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\mathl{L_1 , \ldots , L_r}{} auf $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { \bigcap_{i = 1}^r \operatorname{kern} L_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
b) Man folgere, dass jeder Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Kern einer linearen Abbildung ist und dass jeder Untervektorraum des $K^n$ der Lösungsraum eines
\definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
ist.
}
{
a) Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $U$, die wir zu einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_m,v_{m+1} , \ldots , v_n}{} von $V$ ergänzen. Es sei
\mathl{v_1^* , \ldots , v_n^*}{} die
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
dazu, wobei die $v_i^*$ Linearformen sind. Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \bigcap _{i = m+1}^n \operatorname{kern} v_i^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_i^*(v_j)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq} { \operatorname{kern} v_i^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{i=m+1 , \ldots , n}{.} Für einen Vektor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_j v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{v \not\in U}{} ist ein
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_j
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ \geq }{m+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Doch dann ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_j^*(v)
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $v$ gehört nicht zum Durchschnitt der Kerne.
b) Die Linearformen
\mathl{v_{m+1}^* , \ldots , v_n^*}{} kann man zusammen als eine lineare Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {V} { K^{m-n}
} {v} { \left( v_{m+1}^* (v) , \, \ldots , \, v_n^*(v) \right)
} {} schreiben.
Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ =} { \bigcap _{i = m+1}^n \operatorname{kern} v_i^*
}
{ =} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei nun
\mathl{U \subseteq V=K^n}{} und es sei
\maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^r
} {}
eine lineare Abbildung, deren Kern gleich $U$ ist. Bezüglich der Standardbasen wird $\varphi$ durch eine Matrix $M$ beschrieben. Dann ist
\mathl{x \in U}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Mx
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und dies bedeutet gerade, dass $x$ eine Lösung des durch die Zeilen gegebenen linearen Gleichungssystems ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Drücke die Vektoren
\mathl{u_1^*,u_2^*}{} der
\definitionsverweis {Dualbasis}{}{}
zur Basis
\mathl{u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\3 \end{pmatrix},\, u_2 = \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}}{} im $\R^2$ als
\definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{}
bezüglich der Standarddualbasis
\mathl{e_1^*,e_2^*}{} aus.
}
{
Wir invertieren die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}}{.}
\matabellezweivier {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -11 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - 3 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ { \frac{ 3 }{ 11 } } & - { \frac{ 1 }{ 11 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 5 }{ 11 } } & { \frac{ 2 }{ 11 } } \\ { \frac{ 3 }{ 11 } } & - { \frac{ 1 }{ 11 } } \end{pmatrix}
} }
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_1^*
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 11 } } e_1^* + { \frac{ 2 }{ 11 } } e_2^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_2^*
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 11 } } e_1^* - { \frac{ 1 }{ 11 } } e_2^*
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (1+1+1+2+1)}
{
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $F(x)$ }
{\mazeileundfuenf {3} {5} {1} {7} {8} }
{\mazeileunddrei {2} {6} {4} }
gegebene Abbildung $F$ von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \{1,2 , \ldots , 8\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in sich selbst.
\aufzaehlungfuenf{Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F^2
}
{ = }{ F \circ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F^3
}
{ = }{ F \circ F \circ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen $F^n$
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
sind.
}{Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
das minimale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F^n (x)
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}{Bestimme das minimale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F^n (x)
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Es ist
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $F(F(x))$ }
{\mazeileundfuenf {1} {8} {3} {6} {4} }
{\mazeileunddrei {5} {2} {7} }
}{Es ist
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $F(F(F(x)))$ }
{\mazeileundfuenf {3} {4} {1} {2} {7} }
{\mazeileunddrei {8} {5} {6} }
}{Aus der Wertetabelle kann man unmittelbar entnehmen, dass $F$ bijektiv ist. Nach
Satz . (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
sind dann sämtliche Hintereinanderschaltungen der Abbildung mit sich selbst wieder bijektiv.
}{Die Abbildungsvorschrift bewirkt
\mathdisp {1 \mapsto 3 \mapsto 1} { }
und
\mathdisp {2 \mapsto 5 \mapsto 8 \mapsto 4 \mapsto 7 \mapsto 6 \mapsto 2} { . }
Für
\mathl{x=1,3}{} ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ 2,5,8,4,7,6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind nach Teil (4) die Zahlen
\mathl{2,5,8,4,7,6}{} wieder an ihrer Stelle, aber auch $1,3$ sind an ihrer Stelle, da $6$ ein Vielfaches von $2$ ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{
Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.
}
{
Wir führen Induktion über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei der Induktionsanfang klar ist. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Menge der Permutationen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ \in }{ S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man aufspalten, indem man nach
\mathl{\pi(1)}{} sortiert und die bijektive Abbildung
\maabbdisp {\pi {{|}}_{ \{2 , \ldots , n\} }} {\{2 , \ldots , n\} } { \{1 , \ldots , n\} \setminus \{i\}
} {}
als eine Permutation $\rho$ auf
\mathl{\{1 , \ldots , n-1\}}{} auffasst, indem man beide Mengen ordnungstreu mit
\mathl{\{1 , \ldots , n-1\}}{} identifiziert. Dies ergibt eine Bijektion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S_{n, i}
}
{ \cong }{ S_{n-1 }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei hier
\mathl{S_{n, i}}{} die Menge der Permutationen auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{} bezeichnet, die $1$ auf $i$ abbilden. Zwischen den Signa besteht dabei die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{sgn}( \pi )
}
{ =} { (-1)^{i-1} \operatorname{sgn}( \rho )
}
{ =} { (-1)^{i+1} \operatorname{sgn}( \rho )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da man
\mathl{i-1}{} Transpositionen braucht, um die $i$-te Stelle und die erste Stelle zu vertauschen. Es besteht also insgesamt eine natürliche Bijektion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_n
}
{ =} { \biguplus_{i \in \{1 , \ldots , n\} } S_{n, i }
}
{ =} { \biguplus_{i \in \{1 , \ldots , n\} } S_{n-1 }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit gilt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \sum_{ \pi \in S_{ n } } \operatorname{sgn}( \pi ) a_{1 \pi (1)} \cdots a_{ n \pi ( n)}
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n \sum_{ \pi \in S_{n,i} } \operatorname{sgn}( \pi) \prod_{j = 1}^n a_{j \pi (j) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_{1 i} \sum_{ \pi \in S_{n,i} } \operatorname{sgn}( \pi ) \prod_{j = 2}^n a_{j \pi (j) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_{1 i} \sum_{ \rho \in S_{n-1} } (-1)^{i+1} \operatorname{sgn}( \rho ) \prod_{k = 1}^{n-1} (M_{1i})_{k \rho (k) }
}
{ =} { \sum_{i =1}^n(-1)^{i+1} a_{1i} \det M_{1i}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \det M
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
wobei $M_{1i}$ die Streichungsmatrix zur ersten Zeile und $i$-ten Spalte ist
\zusatzklammer {und sich die Indizierung auf diese Matrix bezieht} {} {.}
Für die vorletzte Gleichung geht die Induktionsvoraussetzung ein und die letzte Gleichung beruht auf
der Entwicklung nach der ersten Zeile.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es seien die beiden komplexen Polynome
\mathdisp {P=X^3-2 { \mathrm i} X^2+4X-1 \text{ und } Q= { \mathrm i} X-3+2 { \mathrm i}} { }
gegeben. Berechne
\mathl{P(Q)}{}
\zusatzklammer {es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden} {} {.}
}
{
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P(Q)
}
{ =} {Q^3 -2{ \mathrm i} Q^2+ 4 Q - 1
}
{ =} {{ \left( { \mathrm i}X-3+2{ \mathrm i} \right) }^3 -2 { \mathrm i} { \left( { \mathrm i} X-3+2{ \mathrm i} \right) }^2+ 4 { \left( { \mathrm i}X-3+2{ \mathrm i} \right) } - 1
}
{ =} { -{ \mathrm i}X^3 +3 { \mathrm i}^2 (-3+2{ \mathrm i})X^2 + 3 { \mathrm i} { \left( -3+2{ \mathrm i} \right) }^2 X + { \left( -3+2{ \mathrm i} \right) }^3
}
{ \,\,\, \, \, \, \,} { -2{ \mathrm i} { \left( { \mathrm i}^2 X^2 +2 { \left( -3+2{ \mathrm i} \right) } { \mathrm i} X + { \left( -3+2{ \mathrm i} \right) }^2 \right) } +4{ \mathrm i}X-12+8 { \mathrm i} -1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { -{ \mathrm i} X^3 +9 X^2 -6{ \mathrm i} X^2 +3{ \mathrm i} { \left( 9-4 -12 { \mathrm i} \right) }X - 27 + 54 { \mathrm i} +36 -8 { \mathrm i}
}
{ \,\,\, \,\, \, \,} { +2{ \mathrm i} X^2 -12 X +8 { \mathrm i} X -18{ \mathrm i} -24 +8 { \mathrm i} +4 { \mathrm i} X-13+8 { \mathrm i}
}
{ =} {-{ \mathrm i} X^3 + { \left( 9 - 4{ \mathrm i} \right) } X^2 +{ \left( 24 + 27 { \mathrm i} \right) }X - 28 + 44 { \mathrm i}
}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }
}
{
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-b+c
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b+c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+3b+9c
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\mathl{I-II}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{I-III}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -4b-8c
}
{ =} {-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 8 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } b
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 8 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 8 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 8 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das gesuchte Polynom ist also
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 8 } }-X + { \frac{ 7 }{ 8 } } X^2} { . }
}