Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Teiltest/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 4 1 5 4 4 4 4 8 3 6 8 4 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  2. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  3. Eine invertierbare -Matrix über einem Körper .
  4. Der Dualraum zu einem -Vektorraum .
  5. Die Determinante einer -Matrix .
  6. Die Permutationsgruppe zu einer Menge .


Lösung

  1. Eine Abbildung

    heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

    1. für alle .
    2. für alle und .
  2. Man nennt

    den Kern von .

  3. Die Matrix heißt invertierbar, wenn es eine Matrix mit

    gibt.

  4. Unter dem Dualraum zu versteht man den Homomorphismenraum
  5. Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch
  6. Man nennt die Menge

    der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
  2. Der Determinantenmultiplikationssatz.
  3. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.


Lösung

  1. Unter der Bedingung, dass endlichdimensional ist, gilt
  2. Es sei ein Körper und . Dann gilt für Matrizen die Beziehung
  3. Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Dann gibt es ein Polynom vom Grad derart, dass für alle ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume in einem Vektorraum derart, dass ist, dass für ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.


Lösung

Es sei

und , und . Die Summe der drei Unterräume ist , da dies schon für die ersten beiden Unterräume gilt. Da die drei Vektoren paarweise linear unabhängig sind, ist

für . Wegen

ist

und somit ist die Summe nicht direkt.


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei

eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Es sei . Zeige .


Lösung

Es ist

Daher sind und zueinander invers, und wegen der Eindeutigkeit des Negativen folgt


Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.

  1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
  2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
  3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
  4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.


Lösung

  1. Lucy benötigt Sekunden für den Meter langen Zug.
  2. In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von

    Da die beiden Bewegungen sich überlagern, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich Meter pro Sekunde.

  3. In den Sekunden legt der Zug

    Meter zurück.

  4. Man kann die vom Zug und die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke addieren, dies ergibt

    Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls

    Meter.


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge und Nichtleser) beschreibt, ist

b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ist

c) Die Ausgangsverteilung ist , daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich .

Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable . Das resultierende System ist ()

Wir eliminieren nun aus mittels die Variable , das ergibt

()

Wir können jetzt dieses System lösen, wobei die anderen Variablen eindeutig festlegt. Sei . Dann ist . Damit ist

Schließlich ist

Die Lösungsmenge, also der Kern, ist somit


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Finde Elementarmatrizen derart, dass die Einheitsmatrix ist.


Lösung

Wir multiplizieren die gegebene Matrix nacheinander mit Elementarmatrizen, bis sich die Einheitsmatrix ergibt. Es ist

Somit ist insgesamt


Aufgabe (8 (4+4) Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und ein Untervektorraum. Zeige, dass es Linearformen auf mit

gibt.

b) Man folgere, dass jeder Untervektorraum der Kern einer linearen Abbildung ist und dass jeder Untervektorraum des der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems ist.


Lösung

a) Es sei eine Basis von , die wir zu einer Basis von ergänzen. Es sei die Dualbasis dazu, wobei die Linearformen sind. Wir behaupten

Wegen

für ist

für . Für einen Vektor

mit ist ein

für . Doch dann ist auch

und gehört nicht zum Durchschnitt der Kerne.

b) Die Linearformen kann man zusammen als eine lineare Abbildung

schreiben.

Dabei ist

Sei nun und es sei

eine lineare Abbildung, deren Kern gleich ist. Bezüglich der Standardbasen wird durch eine Matrix beschrieben. Dann ist genau dann, wenn ist, und dies bedeutet gerade, dass eine Lösung des durch die Zeilen gegebenen linearen Gleichungssystems ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Drücke die Vektoren der Dualbasis zur Basis im als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis aus.


Lösung

Wir invertieren die Matrix .

Daher ist

und


Aufgabe (6 (1+1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung von in sich selbst.

  1. Erstelle eine Wertetabelle für .
  2. Erstelle eine Wertetabelle für .
  3. Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen bijektiv sind.
  4. Bestimme für jedes das minimale mit der Eigenschaft, dass

    ist.

  5. Bestimme das minimale mit der Eigenschaft, dass

    für alle ist.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Aus der Wertetabelle kann man unmittelbar entnehmen, dass bijektiv ist. Nach Fakt *****  (3) sind dann sämtliche Hintereinanderschaltungen der Abbildung mit sich selbst wieder bijektiv.
  4. Die Abbildungsvorschrift bewirkt

    und

    Für ist also und für ist .

  5. Bei sind nach Teil (4) die Zahlen wieder an ihrer Stelle, aber auch sind an ihrer Stelle, da ein Vielfaches von ist.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante.


Lösung

Wir führen Induktion über , wobei der Induktionsanfang klar ist. Sei also . Die Menge der Permutationen kann man aufspalten, indem man nach sortiert und die bijektive Abbildung

als eine Permutation auf auffasst, indem man beide Mengen ordnungstreu mit identifiziert. Dies ergibt eine Bijektion , wobei hier die Menge der Permutationen auf bezeichnet, die auf abbilden. Zwischen den Signa besteht dabei die Beziehung

da man Transpositionen braucht, um die -te Stelle und die erste Stelle zu vertauschen. Es besteht also insgesamt eine natürliche Bijektion

Somit gilt

wobei die Streichungsmatrix zur ersten Zeile und -ten Spalte ist (und sich die Indizierung auf diese Matrix bezieht). Für die vorletzte Gleichung geht die Induktionsvoraussetzung ein und die letzte Gleichung beruht auf der Entwicklung nach der ersten Zeile.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien die beiden komplexen Polynome

gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).


Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Lösung

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

führt auf

und führt auf

also

und somit

Das gesuchte Polynom ist also