Kurs:Lineare Algebra/Teil II/100/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	${}\sum$
Punkte	0	2	0	1	4	0	0	6	7	0	6	0	3	6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	35

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

{}y={\frac {1}{7}}\,

gegebenen Geraden.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(2,7)$ , der durch den Punkt ${}(4,-3)$ läuft.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${}G$ und des Kreises ${}K$ , wobei ${}G$ durch die Gleichung ${}y-3x+1=0$ und ${}K$ durch den Mittelpunkt ${}(-2,3)$ und den Radius ${}4$ gegeben ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Bringe das reelle quadratische Polynom

X^{2}-4Y^{2}+6XY-3X+Y+2

auf eine Standardgestalt.

Aufgabe * (7 (4+3) Punkte)

Es sei ${}z=p+q{\mathrm {i} }\in S_{\mathbb {C} }^{1}\subset {\mathbb {C} }$ ein Punkt auf dem rationalen Einheitskreis (also mit ${}p,q\in \mathbb {Q}$ und ${}p^{2}+q^{2}=1$ ).

a) Zeige, dass der (euklidische) Abstand des Punktes ${}z^{2}$ (Multiplikation in ${}{\mathbb {C} }$ ) zu ${}1=(1,0)$ rational ist.

b) Zeige, dass die Familie ${}z^{2n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , die Eigenschaft besitzt, dass der Abstand zwischen je zwei Punkten dieser Famile immer rational ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

a) Zeige, dass die drei Matrizen

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}}

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden, die isomorph zur ${}\mathbb {Z} /(3)$ ist.

b) Zeige, dass die sechs Matrizen

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&-1\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\-1&-1\end{pmatrix}}

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden, die isomorph zur symmetrischen Gruppe ${}S_{3}$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}n$ . Zeige, dass es einen injektiven Gruppenhomomorphismus

(V,0,+)\longrightarrow (\operatorname {GL} _{n+1}\!{\left(K\right)},E_{n+1},\circ )

gibt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten auf dem affinen Raum ${}K^{n}$ folgende Teilmengen: ${}Y$ ist eine endliche Vereinigung von affin-linearen Unterräumen ${}T\subseteq K^{n}$ . Zeige, dass die Menge dieser Teilmengen die Axiome für die abgeschlossenen Teilmengen einer Topologie erfüllt.

Aufgabe (0 Punkte)