Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 50/latex

\setcounter{section}{50}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A_n$ eine \definitionsverweis {alternierende Gruppe}{}{} mit
\mathl{n \geq 4}{.} Zeige, dass $A_n$ nicht kommutativ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $Q$ das Quadrat im $\R^2$ mit den Eckpunkten
\mathl{(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis. }{Bestimme zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis. }{Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ? }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche Matrizen, die den Symmetrien eines Quadrates mit den Eckpunkten $(\pm 1, \pm 1)$ entsprechen. Sehen diese Matrizen für jedes Quadrat \zusatzklammer {mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt} {} {} gleich aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte ein \definitionsverweis {gleichseitiges Dreieck}{}{} mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit $(1,0)$ als einem Eckpunkt. Bestimme die \zusatzklammer {eigentlichen und uneigentlichen} {} {} Matrizen, die den Symmetrien an diesem Dreieck entsprechen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} der ebenen Drehung um $291$ Grad.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um $45$ Grad, von der Drehung um $99$ Grad und von der Zwölfteldrehung \definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{} der Drehgruppe $\operatorname{SO}_{2}$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha }
{ = }{ 360/12 }
{ = }{ 30 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet die sogenannte \stichwort {Kleinsche Vierergruppe} {.} Dies ist einfach die Produktgruppe $\Z/(2) \times \Z/(2)$.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Kleinsche Vierergruppe}{}{} zu einer \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_4$ \definitionsverweis {isomorph}{}{} ist. Wie sieht eine Realisierung als Untergruppe der \definitionsverweis {Würfelgruppe}{}{} aus?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{{\mathbb F}_q}{} ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} \zusatzklammer {mit $q$ Elementen} {} {.} Bestimme die Anzahl der Elemente in
\mathdisp {\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb F}_q \right) }} { . }

}
{} {}

Die folgende Aufgabe verwendet das Zentrum einer Gruppe.

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Das \definitionswort {Zentrum}{} $Z=Z(G)$ von $G$ ist die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z }
{ =} { { \left\{ g \in G \mid gx=xg \text{ für alle } x \in G \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Zentrum}{}{}
\mathl{Z \subseteq G}{} ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G$ ist. Man bringe das Zentrum in Zusammenhang mit dem \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\kappa} {G} {\operatorname{Aut} \, (G) } {g} {\kappa_g } {.} Was ist das \definitionsverweis {Bild}{}{} von diesem Homomorphismus, und was besagen die Homomorphiesätze in dieser Situation?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Führe folgendes Gedankenexperiment durch: Gegeben sei eine Kugeloberfläche aus Metall und $n$ gleiche Teilchen mit der gleichen positiven Ladung. Die Teilchen stoßen sich also ab. Diese Teilchen werden auf die Kugeloberfläche gebracht, wobei sie sich nach wie vor gegenseitig abstoßen, aber auf der Kugel bleiben. Welche Konfiguration nehmen die Teilchen ein? Müsste sich nicht \anfuehrung{aus physikalischen Gründen}{} eine \anfuehrung{gleichverteilte}{} Konfiguration ergeben, in der alle Teilchen gleichberechtigt sind? Müsste es nicht zu je zwei Teilchen $P,Q$ eine Kugelbewegung geben, die eine Symmetrie der Konfiguration ist und die $P$ in $Q$ überführt?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Betrachte die Wirkung der \definitionsverweis {Tetraedergruppe}{}{} auf den vier Eckpunkten eines Tetraeders. Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Isomorphie}{}{} zwischen der Tetraedergruppe und der \definitionsverweis {alternierenden Gruppe}{}{} $A_4$ ergibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um $51$ Grad, von der Drehung um $99$ Grad und von der Siebteldrehung \definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{} der Drehgruppe $\operatorname{SO}_{2}$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Betrachte ein regelmäßiges $n$-Eck und die zugehörige Gruppe der (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien, also die \definitionsverweis {Diedergruppe}{}{} $D_n$. Beschreibe $D_n$ als \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_n$. Durch welche Permutationen wird sie erzeugt? Für welche $n$ handelt es sich um eine Untergruppe der \definitionsverweis {alternierenden Gruppe}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mathl{G \subseteq \operatorname{O}_{ 2 } \!}{} eine endliche \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \zusatzklammer {eigentlichen und uneigentlichen} {} {} Bewegungsgruppe der reellen Ebene, und sei
\mathl{G \not \subseteq \operatorname{SO}_{2}}{.} Zeige, dass es einen surjektiven \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {G} {\Z/(2) } {} gibt, dessen \definitionsverweis {Kern}{}{} eine \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{} ist. Schließe, dass die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $G$ gerade ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} mit \definitionsverweis {Zentrum}{}{} $Z(G)$. Zeige: \aufzaehlungdrei{$G$ ist genau dann \definitionsverweis {abelsch}{}{,} wenn
\mathl{G/Z(G)}{} \definitionsverweis {zyklisch}{}{} ist. }{Der \definitionsverweis {Index}{}{} von $Z(G)$ in $G$ ist keine Primzahl. }{Ist $G$ von der Ordnung $pq$ für zwei Primzahlen $p$ und $q$, so ist $G$ abelsch oder $Z(G)$ trivial. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Hochladen}

Für die folgende Aufgabe gibt es keinen festen Abgabetermin. Sie gilt so lange, bis eine befriedigende Lösung auf Commons hochgeladen wurde.


\inputaufgabe
{10}
{

Schreibe eine Computeranimation, die zeigt, wie sich fünf auf einer Ku\-geloberfläche platzierte Teilchen mit der gleichen positiven Ladung aufgrund ihrer gegenseitigen Abstoßung bewegen \zusatzklammer {wobei sie aber auf der Kugeloberfläche bleiben} {} {,} und welche Endposition \zusatzklammer {?} {} {} sie einnehmen.

}
{} {}