Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 49

Übungsaufgaben

Datei:DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen.jpg

Aufgabe

Schaue in einen Spiegel. Vertauscht die Spiegelung links und rechts, oben und unten, vorne und hinten? Durch welche lineare Abbildung wird eine Spiegelung beschrieben?

Aufgabe

Gibt es Gründe, für Linkshänder andere Schrauben anzufertigen als für Rechtshänder?

Aufgabe

Gilt die Rechte-Hand-Regel auch für Linkshänder?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass auf der Menge der (geordneten) Basen die Orientierungsgleichheit eine Äquivalenzrelation ist, die bei ${}V\neq 0$ aus genau zwei Äquivalenzklassen besteht.

Aufgabe

Es sei ${}V\neq 0$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Zeige, dass wenn man einen Vektor ${}v_{i}$ durch sein Negatives ${}-v_{i}$ ersetzt, dass dann die neue Basis die entgegengesetzte Orientierung repräsentiert.

Aufgabe *

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{2}$,

${\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Aufgabe *

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{3}$,

${\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\-5\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\7\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-6\\0\\11\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Aufgabe *

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x\\5\\7\end{pmatrix}}.$

a) Wie muss man ${}x$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{3}$ repräsentieren?

b) Wie muss man ${}x$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann orientierungstreu ist, wenn es eine die Orientierung auf ${}V$ repräsentierende Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ gibt, deren Bildvektoren ${}\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$ die Orientierung auf ${}W$ repräsentieren.

Aufgabe

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$ und ${}M_{\pi }$ die zugehörige Permutationsmatrix. Zeige, dass ${}M$ genau dann orientierungstreu ist, wenn

${}\operatorname {sgn} (\pi )=1\,$

ist

Aufgabe

Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit ${}A,B,C$ zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.

Aufgabe

Welche Zahlen treten als Ordnungen von eigentlichen Würfelsymmetrien auf? Beschreibe die Wirkungsweise der Symmetrie auf den Eckpunkten, den Kanten und den Seiten des Würfels sowie auf den Raumdiagonalachsen, den Seitenmittelpunktsachsen und den Kantenmittelpunktsachsen.

Aufgabe

Bestimme die vier Bewegungen an einem Würfel mit den Eckpunkten ${}(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ in Matrixschreibweise, die ${}(1,0,0)$ auf ${}(0,0,-1)$ abbilden.

Aufgabe

Wie viele (wesentlich verschiedene) Möglichkeiten gibt es, die Seiten eines Würfels von ${}1$ bis ${}6$ derart zu nummerieren, dass die Summe gegenüberliegender Seiten stets ${}7$ ergibt?

Wie viele Möglichkeiten gibt es überhaupt?

Aufgabe

Die Ecken ${}(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ eines Würfels seien mit ${}1,2,3,\ldots ,8$ (oder ähnlich) bezeichnet (Skizze!). Beschreibe durch Wertetabellen, wie die folgenden (eigentlichen oder uneigentlichen) Würfelsymmetrien die Eckpunkte permutieren:

1. ${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}$,
2. ${}{\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{pmatrix}}$,
3. ${}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}$.

Was passiert mit den Kantenmittelpunkten unter diesen Bewegungen?

Aufgabe

Es sei ${}W$ der Würfel mit den Eckpunkten ${}(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$. Fixiere eine Kantenmittelpunktachse (durch den Nullpunkt). Welche Bewegungen des Würfels lassen sich als Drehung um diese Achse beschreiben? Wie sehen diese Bewegungen in Matrixschreibweise aus, und was passiert dabei mit den Eckpunkten des Würfels?

Aufgabe

Bestimme die Koordinaten eines Tetraeders, bei dem der Nullpunkt der Mittelpunkt ist, die vier Eckpunkte des Tetraeders vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen, der Punkt ${}(0,0,1)$ ein Eckpunkt ist und ein weiterer Eckpunkt Koordinaten der Form ${}(u,0,v)$ besitzt.

Aufgabe

Betrachte ein Rechteck in der Ebene, das kein Quadrat sei, und dessen Mittelpunkt der Nullpunkt sei und dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen mögen. Bestimme die Matrizen, die die (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien des Rechteckes beschreiben. Erstelle eine Verknüpfungstafel für diese Symmetriegruppe.

Aufgabe *

Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere ist, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{3}$,

${\begin{pmatrix}2\\4\\-5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\6\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\-3\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\6\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\4\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\0\\13\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum. Zeige, dass es auf ${}V$, aufgefasst als reellen Vektorraum, eine natürliche Orientierung gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension ${}n$ und sei das Produkt ${}V^{n}=V\times \cdots \times V$ mit der Produkttopologie versehen. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und

$\varphi \colon I\longrightarrow V^{n}$

eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass

${}\varphi (t)=(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t),\ldots ,\varphi _{n}(t))\,$

für jedes ${}t\in I$ eine Basis von ${}V$ ist. Zeige, dass sämtliche Basen ${}\varphi (t)$, ${}t\in I$, die gleiche Orientierung auf ${}V$ repräsentieren.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}W$ der Würfel mit den Eckpunkten ${}(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$. Es sei ${}\varphi$ eine Dritteldrehung um die Raumdiagonale durch ${}(1,1,1)$ und ${}(-1,-1,-1)$. Bestimme Ebenengleichungen für diejenigen Ebenen, auf denen je drei Eckpunkte liegen, die durch diese Drehung ineinander überführt werden.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe für die in den obigen Skizzen angedeuteten Symmetrien des Tetraeders eine geeignete Matrixdarstellung.