Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 49

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Übungsaufgaben
DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen.jpg

Aufgabe

Schaue in einen Spiegel. Vertauscht die Spiegelung links und rechts, oben und unten, vorne und hinten? Durch welche lineare Abbildung wird eine Spiegelung beschrieben?


Aufgabe

Gibt es Gründe, für Linkshänder andere Schrauben anzufertigen als für Rechtshänder?


Aufgabe

Gilt die Rechte-Hand-Regel auch für Linkshänder?


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass auf der Menge der (geordneten) Basen die Orientierungsgleichheit eine Äquivalenzrelation ist, die bei aus genau zwei Äquivalenzklassen besteht.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer Basis . Zeige, dass wenn man einen Vektor durch sein Negatives ersetzt, dass dann die neue Basis die entgegengesetzte Orientierung repräsentiert.


Aufgabe *

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Aufgabe *

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Aufgabe *

Wir betrachten im die drei Vektoren

a) Wie muss man wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des repräsentieren?

b) Wie muss man wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?


Aufgabe

Es seien und zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume und sei

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann orientierungstreu ist, wenn es eine die Orientierung auf repräsentierende Basis gibt, deren Bildvektoren die Orientierung auf repräsentieren.


Aufgabe

Sei und sei eine Permutation auf und die zugehörige Permutationsmatrix. Zeige, dass genau dann orientierungstreu ist, wenn

ist


Aufgabe

Linie.png

Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.


Snijden kruisen evenwijdig.png

Aufgabe

Welche Zahlen treten als Ordnungen von eigentlichen Würfelsymmetrien auf? Beschreibe die Wirkungsweise der Symmetrie auf den Eckpunkten, den Kanten und den Seiten des Würfels sowie auf den Raumdiagonalachsen, den Seitenmittelpunktsachsen und den Kantenmittelpunktsachsen.


Aufgabe

Bestimme die vier Bewegungen an einem Würfel mit den Eckpunkten in Matrixschreibweise, die auf abbilden.


Aufgabe

Wie viele (wesentlich verschiedene) Möglichkeiten gibt es, die Seiten eines Würfels von bis zu nummerieren, so dass die Summe gegenüberliegender Seiten stets ergibt?

Wie viele Möglichkeiten gibt es überhaupt?

Aufgabe

Die Ecken eines Würfels seien mit (oder ähnlich) bezeichnet (Skizze!). Beschreibe durch Wertetabellen, wie die folgenden (eigentlichen oder uneigentlichen) Würfelsymmetrien die Eckpunkte permutieren:

  1. ,
  2. ,
  3. .

Was passiert mit den Kantenmittelpunkten unter diesen Bewegungen?

Aufgabe

Sei der Würfel mit den Eckpunkten . Fixiere eine Kantenmittelpunktachse (durch den Nullpunkt). Welche Bewegungen des Würfels lassen sich als Drehung um diese Achse beschreiben? Wie sehen diese Bewegungen in Matrixschreibweise aus, und was passiert dabei mit den Eckpunkten des Würfels?


Aufgabe

Bestimme die Koordinaten eines Tetraeders, bei dem der Nullpunkt der Mittelpunkt ist, die vier Eckpunkte des Tetraeders vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen, der Punkt ein Eckpunkt ist und ein weiterer Eckpunkt Koordinaten der Form besitzt.


Aufgabe

Betrachte ein Rechteck in der Ebene, das kein Quadrat sei, und dessen Mittelpunkt der Nullpunkt sei und dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen mögen. Bestimme die Matrizen, die die (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien des Rechteckes beschreiben. Erstelle eine Verknüpfungstafel für diese Symmetriegruppe.


Aufgabe *

Wikt puzzle favicon.svg

Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere sei, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum. Zeige, dass es auf , aufgefasst als reellen Vektorraum, eine natürliche Orientierung gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension und sei das Produkt mit der Produkttopologie versehen. Es sei ein reelles Intervall und

eine stetige Abbildung

mit der Eigenschaft, dass
für jedes eine

Basis von ist. Zeige, dass sämtliche Basen , , die gleiche Orientierung auf repräsentieren.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei der Würfel mit den Eckpunkten . Es sei eine Dritteldrehung um die Raumdiagonale durch und . Bestimme Ebenengleichungen für diejenigen Ebenen, auf denen je drei Eckpunkte liegen, die durch diese Drehung ineinander überführt werden.


Aufgabe (5 Punkte)

Symmetries of the tetrahedron.svg


Man gebe für die in den obigen Skizzen angedeuteten Symmetrien des Tetraeders eine geeignete Matrixdarstellung.


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