Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 50

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}A_{n}$ eine alternierende Gruppe mit ${}n\geq 4$. Zeige, dass ${}A_{n}$ nicht kommutativ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}Q$ das Quadrat im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit den Eckpunkten ${}(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.

1. Bestimme zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
2. Bestimme zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
3. Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ?

Aufgabe

Bestimme sämtliche Matrizen, die den Symmetrien eines Quadrates mit den Eckpunkten ${}(\pm 1,\pm 1)$ entsprechen. Sehen diese Matrizen für jedes Quadrat (mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt) gleich aus?

Aufgabe

Betrachte ein gleichseitiges Dreieck mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit ${}(1,0)$ als einem Eckpunkt. Bestimme die (eigentlichen und uneigentlichen) Matrizen, die den Symmetrien an diesem Dreieck entsprechen.

Aufgabe

Bestimme die Ordnung der ebenen Drehung um ${}291$ Grad.

Aufgabe *

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um ${}45$ Grad, von der Drehung um ${}99$ Grad und von der Zwölfteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe ${}\operatorname {SO} _{2}$?

Aufgabe

Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels ${}\alpha =360/12=30$ Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?

Die nächste Aufgabe verwendet die sogenannte Kleinsche Vierergruppe. Dies ist einfach die Produktgruppe ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.

Aufgabe

Zeige, dass die Kleinsche Vierergruppe zu einer Untergruppe der Permutationsgruppe ${}S_{4}$ isomorph ist. Wie sieht eine Realisierung als Untergruppe der Würfelgruppe aus?

Aufgabe *

Es sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper (mit ${}q$ Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}.$

Die folgende Aufgabe verwendet das Zentrum einer Gruppe.

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Das Zentrum ${}Z=Z(G)$ von ${}G$ ist die Teilmenge

${}Z={\left\{g\in G\mid gx=xg{\text{ für alle }}x\in G\right\}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass das Zentrum ${}Z\subseteq G$ ein Normalteiler in ${}G$ ist. Man bringe das Zentrum in Zusammenhang mit dem Gruppenhomomorphismus

$\kappa \colon G\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(G),\,g\longmapsto \kappa _{g}.$

Was ist das Bild von diesem Homomorphismus, und was besagen die Homomorphiesätze in dieser Situation?

Aufgabe

Führe folgendes Gedankenexperiment durch: Gegeben sei eine Kugeloberfläche aus Metall und ${}n$ gleiche Teilchen mit der gleichen positiven Ladung. Die Teilchen stoßen sich also ab. Diese Teilchen werden auf die Kugeloberfläche gebracht, wobei sie sich nach wie vor gegenseitig abstoßen, aber auf der Kugel bleiben. Welche Konfiguration nehmen die Teilchen ein? Müsste sich nicht „aus physikalischen Gründen“ eine „gleichverteilte“ Konfiguration ergeben, in der alle Teilchen gleichberechtigt sind? Müsste es nicht zu je zwei Teilchen ${}P,Q$ eine Kugelbewegung geben, die eine Symmetrie der Konfiguration ist und die ${}P$ in ${}Q$ überführt?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Wirkung der Tetraedergruppe auf den vier Eckpunkten eines Tetraeders. Zeige, dass dies eine Isomorphie zwischen der Tetraedergruppe und der alternierenden Gruppe ${}A_{4}$ ergibt.

Aufgabe (2 Punkte)

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um ${}51$ Grad, von der Drehung um ${}99$ Grad und von der Siebteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe ${}\operatorname {SO} _{2}$?

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte ein regelmäßiges ${}n$-Eck und die zugehörige Gruppe der (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien, also die Diedergruppe ${}D_{n}$. Beschreibe ${}D_{n}$ als Untergruppe der Permutationsgruppe ${}S_{n}$. Durch welche Permutationen wird sie erzeugt? Für welche ${}n$ handelt es sich um eine Untergruppe der alternierenden Gruppe?

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {O} _{2}\!$ eine endliche Untergruppe der (eigentlichen und uneigentlichen) Bewegungsgruppe der reellen Ebene, und sei ${}G\not \subseteq \operatorname {SO} _{2}$. Zeige, dass es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)$

gibt, dessen Kern eine zyklische Gruppe ist. Schließe, dass die Ordnung von ${}G$ gerade ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe mit Zentrum ${}Z(G)$. Zeige:

1. ${}G$ ist genau dann abelsch, wenn ${}G/Z(G)$ zyklisch ist.
2. Der Index von ${}Z(G)$ in ${}G$ ist keine Primzahl.
3. Ist ${}G$ von der Ordnung ${}pq$ für zwei Primzahlen ${}p$ und ${}q$, so ist ${}G$ abelsch oder ${}Z(G)$ trivial.

Aufgabe zum Hochladen

Für die folgende Aufgabe gibt es keinen festen Abgabetermin. Sie gilt so lange, bis eine befriedigende Lösung auf Commons hochgeladen wurde.

Aufgabe (10 Punkte)

Schreibe eine Computeranimation, die zeigt, wie sich fünf auf einer Kugeloberfläche platzierte Teilchen mit der gleichen positiven Ladung aufgrund ihrer gegenseitigen Abstoßung bewegen (wobei sie aber auf der Kugeloberfläche bleiben), und welche Endposition (?) sie einnehmen.