Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 37/latex

\setcounter{section}{37}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $E,F$ \definitionsverweis {affine Räume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {E} {F } {} eine \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} der Punkte
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} unter $\varphi$ in den Schwerpunkt der Bildpunkte
\mathl{\varphi(P_1) , \ldots , \varphi(P_n)}{} überführt wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Dreieck}{}{} genau dann \definitionsverweis {gleichseitig}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} mit dem \definitionsverweis {Umkreismittelpunkt}{}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es kein \definitionsverweis {nichtausgeartetes}{}{} \definitionsverweis {gleichseitiges Dreieck}{}{} im $\R^2$ gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Seitenmittelpunktsdreieck eines Dreiecks \definitionsverweis {ähnlich}{}{} zum Ausgangsdreieck ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das Dreieck mit den Eckpunkten
\mathl{(-1,3),(0,-5),(2,1)}{} im $\R^2$ die \definitionsverweis {Seitenhalbierenden}{}{.} Bestimme den \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} auf unterschiedliche Arten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das durch die Standardvektoren
\mathl{e_1,e_2,e_3}{} im $\R^3$ gegebene Dreieck die \definitionsverweis {Seitenhalbierenden}{}{} und den \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{A,B}{} verschiedene Punkte in einer \definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Mittelsenkrechte}{}{} zu \mathkor {} {A} {und} {B} {} aus allen Punkten besteht, die zu \mathkor {} {A} {und } {B} {} den gleichen \definitionsverweis {Abstand}{}{} haben.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ ein \definitionsverweis {nichtausgeartetes Dreieck}{}{.} Zeige, dass je zwei \definitionsverweis {Mittelsenkrechten}{}{} \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das Dreieck mit den Eckpunkten
\mathl{(-2,2),(0,4),(5,0)}{} im $\R^2$ die \definitionsverweis {Mittelsenkrechten}{}{,} den \definitionsverweis {Umkreismittelpunkt}{}{} und den Radius des Umkreises.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Im $\R^2$ sei ein \definitionsverweis {nichtausgeartetes Dreieck}{}{} gegeben, wobei die Eckpunkte die Koordinaten
\mathdisp {\begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} x_3 \\y_3 \end{pmatrix}} { }
haben. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d }
{ =} { 2 (x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Umkreismittelpunkt}{}{} des Dreiecks die Koordinaten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { { \frac{ (x_1^2 + y_1^2) (y_2 - y_3) + (x_2^2 + y_2^2) (y_3 - y_1) + (x_3^2 + y_3^2) (y_1 - y_2) }{ d } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { { \frac{ (x_1^2 + y_1^ 2) (x_3 - x_2) + (x_2^2 + y_2^2) (x_1 - x_3) + (x_3^2 + y_3^ 2) (x_2 - x_1) }{ d } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Umkreismittelpunkt}{}{} eines \definitionsverweis {nichtausgearteten Dreiecks}{}{}
\mathl{(A,B,C)}{} in einer \definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{} unter einer \definitionsverweis {Verschiebung}{}{} und unter einer \definitionsverweis {winkeltreuen Abbildung}{}{} auf den Umkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Umkreismittelpunkt}{}{} eines \definitionsverweis {nichtausgearteten Dreiecks}{}{}
\mathl{(A,B,C)}{} in einer \definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{} unter einer \definitionsverweis {bijektiven}{}{} \definitionsverweis {affin-linearen Abbildung}{}{} nicht unbedingt auf den Umkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{v,w}{} \definitionsverweis {linear unabhängige}{}{} Vektoren in $\R^2$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Winkelhalbierende}{}{} zu \mathkor {} {v} {und} {w} {} mit \mathkor {} {v} {bzw.} {w} {} den gleichen \definitionsverweis {Winkel}{}{} bildet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Inkreismittelpunkt}{}{} eines \definitionsverweis {nichtausgearteten Dreiecks}{}{}
\mathl{(A,B,C)}{} in einer \definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{} unter einer \definitionsverweis {Verschiebung}{}{} und unter einer \definitionsverweis {winkeltreuen Abbildung}{}{} auf den Inkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Inkreismittelpunkt}{}{} eines \definitionsverweis {nichtausgearteten Dreiecks}{}{}
\mathl{(A,B,C)}{} in einer \definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{} unter einer \definitionsverweis {bijektiven}{}{} \definitionsverweis {affin-linearen Abbildung}{}{} nicht unbedingt auf den Inkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere ein Dreieck, bei dem zwei \definitionsverweis {Höhenfußpunkte}{}{} außerhalb der Dreiecksseiten liegen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {nichtausgearteten Dreieck}{}{} mindestens ein \definitionsverweis {Höhenfußpunkt}{}{} zwischen den Eckpunkten liegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln im Punkt $A$ und der gegenüberliegenden Seite $a$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Seitenhalbierende}{}{} durch $A$, die \definitionsverweis {Winkelhalbierende}{}{} durch $A$, die \definitionsverweis {Höhe}{}{} durch $A$ und die \definitionsverweis {Mittelsenkrechte}{}{} zu $a$ übereinstimmen.

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben setze man einen naiven Flächeninhaltsbegriff voraus. Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt der Seitenlängen und für den Flächeninhalt gilt die Zerlegungseigenschaft \zusatzklammer {oder Zerschneidungseigenschaft} {} {} und die Verschiebungsinvarianz.


\inputaufgabe
{}
{

Begründe, dass bei einem Parallelogramm der Flächeninhalt gleich der Grundseite mal Höhe ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks gleich ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$ \anfuehrung{Grundseite mal Höhe}{} ist \zusatzklammer {gemeint ist ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$ Grundseitenlänge mal Höhenlänge} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Höhenschnittpunkt}{}{} eines \definitionsverweis {nichtausgearteten Dreiecks}{}{}
\mathl{(A,B,C)}{} in einer \definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{} unter einer \definitionsverweis {Verschiebung}{}{} und unter einer \definitionsverweis {winkeltreuen Abbildung}{}{} auf den Höhenschnittpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Höhenschnittpunkt}{}{} eines \definitionsverweis {nichtausgearteten Dreiecks}{}{}
\mathl{(A,B,C)}{} in einer \definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{} unter einer \definitionsverweis {bijektiven}{}{} \definitionsverweis {affin-linearen Abbildung}{}{} nicht unbedingt auf den Höhenschnittpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise elementargeometrisch den \stichwort {Sinussatz} {,} also die Aussage, dass in einem \definitionsverweis {nichtausgearteten Dreieck}{}{} die Gleichheiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ \sin \alpha } } }
{ =} { { \frac{ b }{ \sin \beta } } }
{ =} { { \frac{ c }{ \sin \gamma } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gelten, wobei
\mathl{a,b,c}{} die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln
\mathl{\alpha, \beta, \gamma}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Durch die Punkte
\mathl{A,B,C}{} sei ein Dreieck mit den Seitenlängen
\mathl{a,b,c}{} und den Winkeln
\mathl{\alpha, \beta, \gamma}{} gegeben. Es sei $F$ der Flächeninhalt des Dreiecks. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ \sin \alpha } } }
{ =} { { \frac{ abc }{ 2F } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe wird die \zusatzklammer {eine Variante der} {} {} \stichwort {Heronsche Formel} {} bewiesen.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{a,b,c}{} die Seitenlängen eines Dreiecks. Zeige, dass der Flächeninhalt des Dreiecks gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { { \frac{ \sqrt{2a^2c^2 +2c^2b^2+2a^2b^2 -a^4-b^4-c^4} }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ ein \definitionsverweis {nichtausgeartetes Dreieck}{}{} in der Ebene mit den drei Eckpunkten $A,B,C$. Zeige, dass man die Höhen, die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ein Dreieck soll die Grundseite
\mathl{[0,s]}{} und die Höhe $h$ besitzen \zusatzklammer {\mathlk{s,h >0}{}} {} {.} Für welchen Höhenfußpunkt $x$ besitzt das Dreieck einen minimalen Umfang, und wie lange ist dieser?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir fassen die Menge aller \zusatzklammer {auch entarteter, geordneter} {} {} Dreiecke
\mathl{\triangle=(A,B,C)}{} im $\R^2$ über ihre Koordinaten
\mathl{A=(A_1,A_2), B=(B_1,B_2), C=(C_1,C_2)}{} als den \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $\R^6$ auf. Insbesondere kann man so Dreiecke miteinander addieren und mit einem Skalar
\mathl{s \in \R}{} multiplizieren.

a) Zeige, dass die Dreiecke \mathkor {} {\triangle} {und} {s \triangle} {} mit $\triangle$ nichtausgeartet und
\mathl{s \neq 0}{} zueinander \definitionsverweis {ähnlich}{}{} sind.

b) Es sei $S$ der \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} des Dreiecks
\mathl{(A,B,C)}{.} Zeige, dass die Dreiecke
\mathdisp {(A,B,C), \, (B,C,A),\, (C,A,B) \text{ und } (S,S,S)} { }
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{} sind.

c) Bestimme, ob die folgenden Mengen an Dreiecken \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} des Dreiecksraumes bilden oder nicht. Wenn ja, so bestimme ihre Dimension. \aufzaehlungneun{Die Menge aller nichtentarteten Dreiecke. }{Die Menge aller Dreiecke mit $0$ als erstem Eckpunkt. }{Die Menge aller Dreiecke mit Schwerpunkt $0$. }{Die Menge aller \definitionsverweis {gleichseitigen Dreiecke}{}{.} }{Die Menge aller Dreiecke, deren \definitionsverweis {Umkreis}{}{} der Einheitskreis ist. }{Die Menge aller zu einem Punkt zusammengeschrumpften Dreiecke. }{Die Menge aller \definitionsverweis {rechtwinkligen Dreiecke}{}{.} }{Die Menge aller rechtwinkligen Dreiecke, deren rechter Winkel sich als erster Punkt in $0$ befindet und deren zweiter Punkt auf der $x$-Achse liegt. }{Die Menge aller Dreiecke mit \definitionsverweis {Höhenschnittpunkt}{}{} in $0$. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für das Dreieck
\mathl{(0,0), (3,0), (0,4)}{} den \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{,} den \definitionsverweis {Umkreismittelpunkt}{}{,} den \definitionsverweis {Inkreismittelpunkt}{}{} und den \definitionsverweis {Höhenschnittpunkt}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme für das Dreieck
\mathl{(2,3), (1,8), (6,-5)}{} die \definitionsverweis {eulersche Gerade}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für das Dreieck
\mathl{(4,-3), (7,2), (-1,5)}{} den Mittelpunkt und den Radius des \definitionsverweis {Feuerbachkreises}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für das durch die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\5\\ 6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 9 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 3 \\3\\ 5 \end{pmatrix}} { }
gegebene Dreieck im $\R^3$ die \definitionsverweis {Höhe}{}{} durch
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\5\\ 6 \end{pmatrix}}{} und den Flächeninhalt des Dreiecks.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Betrachte den Vektorraum aller Dreiecke im $\R^2$ aus Aufgabe 37.28. Ist die Abbildung, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet, eine \definitionsverweis {Linearform}{}{?}

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe wird auf die \definitionsverweis {Konvergenz}{}{} von Folgen im $\R^2$ Bezug genommen. Sie liegt genau dann vor, wenn beide Komponentenfolgen in $\R$ \definitionsverweis {konvergieren}{}{.}


\inputaufgabe
{6}
{

Zu einem \definitionsverweis {Dreieck}{}{}
\mathl{\triangle=(A,B,C)}{} ist das Seitenmittelpunktsdreieck durch die Eckpunkte
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 2 } } (A+B), { \frac{ 1 }{ 2 } } (A+C), { \frac{ 1 }{ 2 } } (B+C)}{} gegeben. Diese Konstruktion ergibt eine rekursiv definierte Folge von Dreiecken $\triangle_n$, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle_1 }
{ = }{\triangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $\triangle_{n+1}$ das Seitenmittelpunktsdreieck zu $\triangle_n$ ist. Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $\R^2$ mit
\mathl{x_n \in \triangle_n}{} für alle
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass diese Folge \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}