Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 38

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei eine Bilinearform auf einem -Vektorraum . Zeige

für alle .


Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Abbildungen

Bilinearformen sind.


Aufgabe

Zeige, dass ein Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.


Aufgabe

Es sei eine Bilinearform auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum. Zeige, dass die Form genau dann linksausgeartet ist, wenn sie rechtsausgeartet ist.


Aufgabe

Betrachte die Linearform

  1. Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft

    wobei das Standardskalarprodukt bezeichnet.

  2. Es sei

    und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft

    wobei die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf bezeichnet.


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum, der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei

eine Linearform und der zugehörige Gradient im Sinne von Lemma 38.5  (3). Zeige, dass der Gradient zur Einschränkung die orthogonale Projektion von auf ist.


Aufgabe

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im bezüglich der Basis und .


Aufgabe *

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem bezüglich der Standardbasis.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine Bilinearform auf . Zeige, dass genau dann symmetrisch ist, wenn es eine Basis von mit

für alle gibt.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer Bilinearform . Zeige, dass diese Form genau dann symmetrisch ist, wenn die Gramsche Matrix von ihr bezüglich einer Basis symmetrisch ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Determinante in der Dimension zwei, also die Abbildung

keine symmetrische Bilinearform ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass der Ausartungsraum ein Untervektorraum von ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper mit einer von verschiedenen Charakteristik und sei eine symmetrische Bilinearform auf einem -Vektorraum . Zeige


Aufgabe *

Es sei ein Körper mit einer von verschiedenen Charakteristik und sei eine symmetrische Bilinearform auf einem -Vektorraum . Zeige


Aufgabe *

Zeige, dass es eine Bilinearform auf einem Vektorraum geben kann, die nicht die Nullform ist, für die aber

für alle ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass eine Orthogonalbasis besitzt.


Aufgabe

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe

a) Zeige, dass die Summe von Bilinearformen und auf einem -Vektorraum wieder eine Bilinearform ist.

b) Zeige ebenso, dass das skalare Vielfache einer Bilinearform wieder eine Bilinearform ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Bilinearformen auf einem -Vektorraum einen -Vektorraum bilden.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Zeige, dass es eine natürliche Isomorphie

gibt.


Wie im Fall eines Skalarproduktes nennt man lineare Abbildung, die Bilinearformen respektieren, Isometrien.

Es seien und Vektorräume über , auf denen jeweils eine Bilinearform bzw. gegeben sei. Man nennt eine -lineare Abbildung eine Isometrie, wenn

für alle gilt.


Aufgabe

Es seien Vektorräume über mit Bilinearformen und und sei eine Isometrie. Ist injektiv?


Aufgabe

Es seien Vektorräume über mit mit Bilinearformen . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Identität ist eine Isometrie.
  2. Wenn eine bijektive Isometrie ist, so ist auch die Umkehrabbildung eine Isometrie.
  3. Wenn und Isometrien sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung eine Isometrie.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit einer Bilinearform . Zeige, dass die Menge der Isometrien auf eine Gruppe unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.


Aufgabe *

Es sei ein -Vektorraum und es seien

und

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung linear ist.


Aufgabe *

Zeige, dass für eine hermitesche Form auf einem -Vektorraum die Werte zu stets reell sind.


Aufgabe

Zeige, dass eine Sesquilinearform auf einem -Vektorraum genau dann hermitesch ist, wenn die Gramsche Matrix der Form bezüglich einer Basis von hermitesch ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im bezüglich der Basis und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper, dessen Charakteristik nicht sei. Es sei eine Bilinearform auf einem -Vektorraum , die sowohl symmetrisch als auch alternierend sei. Zeige, dass es sich um die Nullform handelt.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform auf einem -Vektorraum gleich dem Kern der linearen Abbildung

ist.


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Linearform

  1. Bestimme den Linksgradienten von bezüglich der Determinante.
  2. Bestimme den Rechtsgradienten von bezüglich der Determinante.
  3. Bestimme den Gradienten von bezüglich des Standardskalarproduktes.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum. Zeige, dass die Menge der symmetrischen Bilinearformen auf einen Untervektorraum des Raumes aller Bilinearformen bildet. Welche Dimension besitzt dieser Raum, wenn

ist?


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ein reeller Vektorraum. Bildet die Menge der Skalarprodukte auf einen Untervektorraum des Raumes aller Bilinearformen auf ?



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