Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Um die Erde wird entlang des Äquators ein Band gelegt. Das Band ist jedoch einen Meter zu lang, sodass es ringsherum gleichmäßig angehoben wird, um straff zu werden. Welche der folgenden Lebewesen können drunter durch laufen/schwimmen/fliegen/tanzen? \aufzaehlungacht{Eine Amöbe. }{Eine Ameise. }{Eine Meise. }{Eine Flunder. }{Eine Boa constrictor. }{Ein Meerschweinchen. }{Eine Boa constrictor, die ein Meerschweinchen verschluckt hat. }{Ein sehr guter Limbotänzer. }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass für beliebige Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Koeffizienten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 , \ldots , s_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^n s_i v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i \varphi { \left( v_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
zwischen den
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
zwischen den
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi( -v)
}
{ = }{- \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine Unze Gold kostet $1100$ \euro\.
a) Wie viel kosten sieben Unzen Gold?
b) Wie viel Gold bekommt man für
\mathl{10000}{} \euro\?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Lucy Sonnenschein fährt mit ihrem Fahrrad 10 Meter pro Sekunde.
a) Wie viele Kilometer fährt sie pro Stunde?
b) Wie lange braucht sie für 100 Kilometer?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Fünf Spaziergänger laufen eine Strecke in 35 Minuten ab. Am nächsten Tag laufen 7 Spaziergänger die gleiche Strecke in gleichem Tempo. Wie lange brauchen sie?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Interpretiere die folgenden physikalischen Gesetze als lineare Abbildungen von $\R$ nach $\R$. Was sind die messbaren Größen, was ist der Proportionalitätsfaktor und wodurch ist dieser festgelegt? \aufzaehlungacht{Die zurückgelegte Strecke ist Geschwindigkeit mal Zeit. }{Masse ist Volumen mal Dichte. }{Energie ist Masse mal Brennwert. }{Kraft ist Masse mal Beschleunigung. }{Energie ist Kraft mal Weg. }{Energie ist Leistung mal Zeit. }{Spannung ist Widerstand mal Stromstärke. }{Ladung ist Stromstärke mal Zeit. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }_{1 \leq i \leq m,\, 1 \leq j \leq n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{K}{.} Zeige, dass die zugehörige Abbildung
\maabbeledisp {} { K^n } { K^m
} { \begin{pmatrix} s_1 \\\vdots\\ s_n \end{pmatrix} } { M \begin{pmatrix} s_1 \\\vdots\\ s_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{j = 1}^n a_{1j} s_j \\ \sum_{j = 1}^n a_{2j} s_j \\ \vdots\\ \sum_{j = 1}^n a_{mj} s_j \end{pmatrix}
} {,}
\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {K } { V
} {\lambda } { \lambda v
} {,}
\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {V} {V
} {v} { a v
} {,}
\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $U,V,W$
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es seien
\mathdisp {\varphi \colon U\rightarrow V \text{ und } \psi \colon V\rightarrow W} { }
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbdisp {\psi \circ \varphi} { U} {W
} {} eine lineare Abbildung ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} zwei $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi^{-1}} {W} {V } {} \definitionsverweis {linear}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {\R^2} {\R
} {}
mit
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 1 \\3 \end{pmatrix} = 5 \text{ und } \varphi \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix} = 4} { }
gegeben. Berechne
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 7 \\6 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^2
} {}
mit
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\-2 \end{pmatrix},\, \varphi \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \text{ und } \varphi \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\2 \end{pmatrix}} { }
gegeben. Berechne
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 4 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
Die folgende Aufgabe knüpft an die Aufgaben zum Vier-Zahlen-Problem vom Arbeitsblatt 2 an.
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {\Psi} {\R_{\geq 0}^4} { \R_{\geq 0}^4
} {,}
die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Beschreibe diese Abbildung unter der Bedingung, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ \leq} {b
}
{ \leq} {c
}
{ \leq} {d
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, mit einer Matrix.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um $45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die Umkehrabbildungen zu den elementargeometrischen Abbildungen Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung, Stre\-ckung, Verschiebung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {\R } {z} { \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } } {,} und \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {\R } {z} { \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } } {,} $\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} sind. Zeige ferner, dass die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} $\R$-linear, aber nicht ${\mathbb C}$-linear ist. Ist der \definitionsverweis {Betrag}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {\R } {z} {\betrag { z } } {,} $\R$-linear?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $B$ eine
$n \times p$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien
\mathdisp {K^p \stackrel{B}{\longrightarrow} K^n \stackrel{A}{\longrightarrow} K^m} { }
die zugehörigen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Matrixprodukt}{}{}
\mathl{A \circ B}{} die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ergänze den Beweis zu Satz 10.10 um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei $v_1 , \ldots , v_n$ eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { K^n } { V } { (s_1 , \ldots , s_n) } { \sum_{i = 1}^n s_i v_i } {,} \definitionsverweis {linear}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei $v_1 , \ldots , v_n$ eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass für die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {K^n} {V } {(s_1 , \ldots , s_n) } { \sum_{i = 1}^n s_i v_i } {,} die folgenden Beziehungen gelten. \aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist \definitionsverweis {injektiv}{}{} genau dann, wenn $v_1 , \ldots , v_n$ \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.
}{$\varphi$ ist \definitionsverweis {surjektiv}{}{} genau dann, wenn $v_1 , \ldots , v_n$ ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$ ist. }{$\varphi$ ist \definitionsverweis {bijektiv}{}{} genau dann, wenn $v_1 , \ldots , v_n$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} ist.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{U,V,W}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es seien
\maabb {\varphi} {U} {V
} {}
und
\maabb {\psi} {U} {W
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass auch die Abbildung
\maabbeledisp {} {U } { V \times W
} {u} {\varphi (u) \times \psi (u)
} {}
in den
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{V \times W}{} eine lineare Abbildung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
\mathkor {} {V_i} {und} {W_i} {}
sowie
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{}
\maabbdisp {\varphi_i} {V_i } { W_i
} {}
gegeben. Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi= \varphi_1 \times \varphi_2 \times \cdots \times \varphi_n} {V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_n } { W_1 \times W_2 \times \cdots \times W_n
} { \left( v_1 , \, v_2 , \, \ldots , \, v_n \right) } { \left( \varphi_1(v_1) , \, \varphi_2(v_2) , \, \ldots , \, \varphi_n(v_n) \right)
} {,}
eine lineare Abbildung zwischen den Produkträumen ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es sei $v_1 , \ldots , v_n$ ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$ und es sei $w_1 , \ldots , w_n$ eine Familie von Vektoren in $W$.
a) Zeige, dass es maximal eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_i)
}
{ = }{ w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ geben kann.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_i)
}
{ = }{ w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Lemma 10.14.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {,}
die eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $q$ schickt und die alle
\definitionsverweis {irrationalen Zahlen}{}{}
auf $0$ schickt. Ist dies eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{?}
Ist sie mit
\definitionsverweis {Skalierung}{}{}
verträglich?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $S$ und $T$ Mengen. Zeige, dass durch eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {S} {T } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\operatorname{Abb} \, { \left( T , K \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( S , K \right) } } {\varphi} { \varphi \circ\psi } {,} festgelegt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $S$ und $T$ Mengen. Es sei
\maabbdisp {\psi} {S} {T
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
a) Zeige, dass durch
\mathl{e_s \mapsto e_{\psi(s)}}{} eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} {K^{(S)} } { K^{(T)}
} {}
festgelegt ist.
b) Es habe nun $\psi$ zusätzlich die Eigenschaft, dass sämtliche
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
endlich seien. Zeige, dass dadurch eine lineare Abbildung
\maabbeledisp {} {K^{(T)} } { K^{(S)}
} {\varphi} { \varphi \circ \psi
} {,}
festgelegt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $I$ eine Indexmenge mit einer
\definitionsverweis {Zerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {I_1 \uplus I_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass eine natürliche
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) }
}
{ \cong} {\operatorname{Abb} \, { \left( I_1 , K \right) } \oplus \operatorname{Abb} \, { \left( I_2 , K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {V} {und} {W} {} genau dann zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, wenn ihre \definitionsverweis {Dimension}{}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein endlicher \definitionsverweis {Körper}{}{} mit $q$ Elementen. Bestimme die Anzahl der \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^2
} {}
mit
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\7 \end{pmatrix},\, \varphi \begin{pmatrix} 0 \\4\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix} \text{ und } \varphi \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\0 \end{pmatrix}} { }
gegeben. Berechne
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 4 \\5\\ 6 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass die Addition \maabbdisp {+} {\Q^2 = \Q \times \Q} {\Q } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} ist. Wie sieht die Matrix dieser Abbildung bezüglich der Standardbasis aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die \zusatzklammer {bezüglich der Standardbasis} {} {} eine Drehung um $30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} \mathkor {} {V} {und} {W} {} seien $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} sei eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Graph}{}{} der Abbildung ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des \definitionsverweis {Produktraumes}{}{} $V \times W$ ist.
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.
Es seien
\mathkor {} {(G, \circ, e_G)} {und} {(H, \circ, e_H)} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {G} {H
} {}
heißt \definitionswort {Gruppenhomomorphismus}{,} wenn die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi( g \circ g')
}
{ =} { \psi (g) \circ \psi (g')
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g,g'
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} $\Q$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} { V } { W } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ bereits $\Q$-\definitionsverweis {linear}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
der gleichen Dimension. Zeige, dass es einen
$K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { V } { V
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(U_1)
}
{ =} { U_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}