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Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 10

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Die Pausenaufgabe

Um die Erde wird entlang des Äquators ein Band gelegt. Das Band ist jedoch einen Meter zu lang, sodass es ringsherum gleichmäßig angehoben wird, um straff zu werden. Welche der folgenden Lebewesen können drunter durch laufen/schwimmen/fliegen/tanzen?

  1. Eine Amöbe.
  2. Eine Ameise.
  3. Eine Meise.
  4. Eine Flunder.
  5. Eine Boa constrictor.
  6. Ein Meerschweinchen.
  7. Eine Boa constrictor, die ein Meerschweinchen verschluckt hat.
  8. Ein sehr guter Limbotänzer.




Übungsaufgaben

Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und

sei eine - lineare Abbildung. Zeige, dass für beliebige Vektoren und Koeffizienten die Beziehung

gilt.



Es sei

eine lineare Abbildung zwischen den - Vektorräumen und . Zeige .



Es sei

eine lineare Abbildung zwischen den - Vektorräumen und . Es sei . Zeige .



Eine Unze Gold kostet €.

a) Wie viel kosten sieben Unzen Gold?


b) Wie viel Gold bekommt man für €?



Lucy Sonnenschein fährt mit ihrem Fahrrad 10 Meter pro Sekunde.

a) Wie viele Kilometer fährt sie pro Stunde?


b) Wie lange braucht sie für 100 Kilometer?



Fünf Spaziergänger laufen eine Strecke in 35 Minuten ab. Am nächsten Tag laufen 7 Spaziergänger die gleiche Strecke in gleichem Tempo. Wie lange brauchen sie?



Interpretiere die folgenden physikalischen Gesetze als lineare Abbildungen von nach . Was sind die messbaren Größen, was ist der Proportionalitätsfaktor und wodurch ist dieser festgelegt?

  1. Die zurückgelegte Strecke ist Geschwindigkeit mal Zeit.
  2. Masse ist Volumen mal Dichte.
  3. Energie ist Masse mal Brennwert.
  4. Kraft ist Masse mal Beschleunigung.
  5. Energie ist Kraft mal Weg.
  6. Energie ist Leistung mal Zeit.
  7. Spannung ist Widerstand mal Stromstärke.
  8. Ladung ist Stromstärke mal Zeit.



Es sei eine - Matrix über einem Körper . Zeige, dass die zugehörige Abbildung

linear ist.



Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zeige, dass zu die Abbildung

linear ist.



Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zeige, dass zu die Abbildung

linear ist.



Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

eine lineare Abbildung ist.



Es sei ein Körper und es seien und zwei - Vektorräume. Es sei

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung

linear ist.



Es sei eine lineare Abbildung mit

gegeben. Berechne



Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Die folgende Aufgabe knüpft an die Aufgaben zum Vier-Zahlen-Problem vom Arbeitsblatt 2 an.


Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Beschreibe diese Abbildung unter der Bedingung, dass

gilt, mit einer Matrix.



Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.



Beschreibe die Umkehrabbildungen zu den elementargeometrischen Abbildungen Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung, Streckung, Verschiebung.



Zeige, dass die Abbildungen

und

-lineare Abbildungen sind. Zeige ferner, dass die komplexe Konjugation -linear, aber nicht -linear ist. Ist der Betrag

-linear?



Es sei eine - Matrix und eine -Matrix und es seien

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.



Ergänze den Beweis zu Satz 10.10 um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.



Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Abbildung

linear ist.



Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass für die Abbildung

die folgenden Beziehungen gelten.

  1. ist injektiv genau dann, wenn linear unabhängig sind.
  2. ist surjektiv genau dann, wenn ein Erzeugendensystem von ist.
  3. ist bijektiv genau dann, wenn eine Basis ist.



Es sei ein Körper und seien Vektorräume über . Es seien und lineare Abbildungen. Zeige, dass auch die Abbildung

in den Produktraum eine lineare Abbildung ist.



Es sei ein Körper. Zu seien - Vektorräume und sowie lineare Abbildungen

gegeben. Zeige, dass dann auch die Produktabbildung

eine lineare Abbildung zwischen den Produkträumen ist.



Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei ein Erzeugendensystem von und es sei eine Familie von Vektoren in .

a) Zeige, dass es maximal eine lineare Abbildung

mit für alle geben kann.


b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit für alle gibt.



Beweise Lemma 10.14.



Betrachte die Abbildung

die eine rationale Zahl auf schickt und die alle irrationalen Zahlen auf schickt. Ist dies eine lineare Abbildung? Ist sie mit Skalierung verträglich?



Es sei ein Körper und seien und Mengen. Zeige, dass durch eine Abbildung

eine lineare Abbildung

festgelegt ist.



Es sei ein Körper und seien und Mengen. Es sei

eine Abbildung.

a) Zeige, dass durch eine lineare Abbildung

festgelegt ist.


b) Es habe nun zusätzlich die Eigenschaft, dass sämtliche Fasern endlich seien. Zeige, dass dadurch eine lineare Abbildung

festgelegt ist.



Es sei ein Körper und sei eine Indexmenge mit einer Zerlegung

Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

vorliegt.



Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale - Vektorräume. Zeige, dass und genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.



Es sei ein endlicher Körper mit Elementen. Bestimme die Anzahl der linearen Abbildungen




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne



Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Addition

eine lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix dieser Abbildung bezüglich der Standardbasis aus?



Aufgabe (3 Punkte)

Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die (bezüglich der Standardbasis) eine Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und

sei eine - lineare Abbildung. Zeige, dass der Graph der Abbildung ein Untervektorraum des Produktraumes ist.


Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Es seien und Gruppen. Eine Abbildung

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

für alle gilt.



Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und - Vektorräume und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass bereits - linear ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und Untervektorräume der gleichen Dimension. Zeige, dass es einen - Automorphismus

mit

gibt.




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