Lineare Abbildung/Matrizen/Kommutatives Diagramm/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ mit den zugehörigen Abbildungen

$\Psi _{\mathfrak {v}}\colon K^{n}\longrightarrow V$

und

$\Psi _{\mathfrak {w}}\colon K^{m}\longrightarrow W.$

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung mit beschreibender Matrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$.

Dann ist

${}\varphi \circ \Psi _{\mathfrak {v}}=\Psi _{\mathfrak {w}}\circ M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\,,$

d.h. das Diagramm

${\begin{matrix}K^{n}&{\stackrel {\Psi _{\mathfrak {v}}}{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\K^{m}&{\stackrel {\Psi _{\mathfrak {w}}}{\longrightarrow }}&W&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

Zu einem Vektor ${}v\in V$ kann man ${}\varphi (v)$ ausrechnen, indem man das Koeffiziententupel zu ${}v$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ bestimmt, darauf die Matrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ anwendet und zu dem sich ergebenden ${}m$-Tupel den zugehörigen Vektor bezüglich ${}{\mathfrak {w}}$ berechnet.

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