Lineare Abbildung/Matrizen/Kommutatives Diagramm/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis  $𝔳=v_1,\dots ,v_n$  und sei $W$ ein $m$-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis  $𝔴=w_1,\dots ,w_m$  mit den zugehörigen Abbildungen

${\mathrm{\Psi }}_{𝔳}:K^n⟶V$

und

${\mathrm{\Psi }}_{𝔴}:K^m⟶W.$

Es sei

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung mit beschreibender Matrix $M_{𝔴}^{𝔳}(\phi )$.

Dann ist

$\phi \circ {\mathrm{\Psi }}_{𝔳}={\mathrm{\Psi }}_{𝔴}\circ M_{𝔴}^{𝔳}(\phi ),$

d.h. das Diagramm

$\begin{array}{cccc}{K}^n& \stackrel{{\mathrm{\Psi }}_{𝔳}}{⟶}& V& \\ M_{𝔴}^{𝔳}(\phi )\downarrow & & \downarrow \phi & \\ K^m& \stackrel{{\mathrm{\Psi }}_{𝔴}}{⟶}& W& \end{array}$

ist kommutativ.

Zu einem Vektor  $v\in V$  kann man $\phi (v)$ ausrechnen, indem man das Koeffiziententupel zu $v$ bezüglich der Basis $𝔳$ bestimmt, darauf die Matrix $M_{𝔴}^{𝔳}(\phi )$ anwendet und zu dem sich ergebenden $m$-Tupel den zugehörigen Vektor bezüglich $𝔴$ berechnet.

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