Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} \definitionsverweis {invertierbar}{}{} sind. Wie sehen die \definitionsverweis {inversen Matrizen}{}{} zu den Elementarmatrizen aus?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{} $M$ weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
derart, dass es $n \times n$-Matrizen
\mathl{A,B}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M \circ A
}
{ = }{ E_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \circ M
}
{ = }{ E_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dass $M$
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $M$ und $N$
\definitionsverweis {invertierbare}{}{}
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}
Zeige, dass auch
\mathl{M \circ N}{}
invertierbar ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (M \circ N)^ {-1}
}
{ =} { N^{-1} \circ M^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich zweier
\definitionsverweis {Basen}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben werde. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist, wenn die Spalten der Matrix ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $K^m$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $M$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} mit Einträgen in $K$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Multiplikation}{}{} mit $m \times m$-\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} von links mit $M$ folgende Wirkung haben. \aufzaehlungdrei{$V_{ij} \circ M =$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$. }{$(S_k (s)) \circ M =$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$. }{$(A_{ij}(a)) \circ M =$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile (\mathlk{i \neq j}{}). }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} mit einer \definitionsverweis {Elementarmatrix}{}{} von rechts \definitionsverweis {multipliziert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Überführe die Matrixgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in ein lineares Gleichungssystem.
} {Löse dieses lineare Gleichungssystem.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \circ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige direkt, dass dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \circ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -4 & 9 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & -1 & -2 \\0 & 3 & 7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zur komplexen Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2+3{ \mathrm i} & 1-{ \mathrm i} \\ 5-4{ \mathrm i} & 6-2{ \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Bestimme, ob die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2+5 { \mathrm i} & 1-2 { \mathrm i} \\ 3-4 { \mathrm i} & 6-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
b) Finde eine Lösung für das
\definitionsverweis {inhomogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M \begin{pmatrix} z_1 \\z_2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 54 +72 { \mathrm i} \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe für die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 1 & 7 & -4 \\9 & 17 & -2 \end{pmatrix}} { }
das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde
\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme explizit den
\definitionsverweis {Spaltenrang}{}{}
und den Zeilenrang der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 4 & 1 & 5 \\6 & -1 & 3 \end{pmatrix}} { . }
Beschreibe
\definitionsverweis {lineare Abhängigkeiten}{}{}
\zusatzklammer {falls solche existieren} {} {}
zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass sich bei \definitionsverweis {elementaren Zeilenumformungen}{}{} der \definitionsverweis {Spaltenrang}{}{} nicht ändert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und
\maabb {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist, wenn es eine
\mathl{n \times m}{-}Matrix $A$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M \circ A
}
{ = }{E_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $B$ eine
$n \times p$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $A$ eine $m\times n$-Matrix. Zeige, dass für den
\definitionsverweis {Spaltenrang}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, A \circ B
}
{ \leq} { {\min { \left( \operatorname{rang} \, A , \operatorname{rang} \, B , \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $A$ eine
\definitionsverweis {invertierbare}{}{}
$m\times m$-Matrix. Zeige, dass für den
\definitionsverweis {Spaltenrang}{}{}
die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, A \circ M
}
{ =} { \operatorname{rang} \, M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
Unter einer
\definitionswort {Blockmatrix}{}
versteht man eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}} { , }
wobei $A$ eine
\mathl{r \times s}{-}Matrix, $B$ eine $r \times (n-s)$-Matrix, $C$ eine $(m-r) \times s$-Matrix und $D$ eine $(m-r) \times (n-s)$-Matrix ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {Blockmatrix}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Rang}{}{}
von $M$ gleich der Summe der Ränge von $A$ und von $B$ ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {M = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 5 & 0 & 4 \\1 & -2 & 3 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zur komplexen Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5+8 { \mathrm i} & 3-7{ \mathrm i} \\ 2-9{ \mathrm i} & 4-5{ \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & 5 & -1 \\ 4 & 7 & 2 \\2 & -3 & 6 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde
\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & k+2 & k+1 \\ 0 & 0 & k+1 & k \\ -k & k +1 & 0 & 0 \\ k +1 & -(k + 2) & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
für jedes $k \in K$ zu sich selbst invers ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Führe das
Invertierungsverfahren
für die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} { }
unter der Voraussetzung $ad-bc \neq 0$ durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich zweier
\definitionsverweis {Basen}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben werde. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ =} { \operatorname{rang} \, M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}