Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 12

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine invertierbare Matrix ${}M$ weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix derart, dass es ${}n\times n$-Matrizen ${}A,B$ mit ${}M\circ A=E_{n}$ und mit ${}B\circ M=E_{n}$ gibt. Zeige ${}A=B$ und dass ${}M$ invertierbar ist.

Aufgabe

Es seien ${}M$ und ${}N$ invertierbare ${}n\times n$- Matrizen. Zeige, dass auch ${}M\circ N$ invertierbar ist, und dass

${}(M\circ N)^{-1}=N^{-1}\circ M^{-1}\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine invertierbare obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass die inverse Matrix ${}M^{-1}$ ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine invertierbare obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass die Diagonalelemente von ${}M$ von ${}0$ verschieden sind.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von ${}K^{m}$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix mit Einträgen in ${}K$. Zeige, dass die Multiplikation mit ${}m\times m$- Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung haben.

1. ${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$-ten und der ${}j$-ten Zeile von ${}M$.
2. ${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$-ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$.
3. ${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$-fachen der ${}j$-ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$-ten Zeile ($i\neq j$).

Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.

Aufgabe *

1. Überführe die Matrixgleichung

   ${}{\begin{pmatrix}3&7\\-4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

   in ein lineares Gleichungssystem.

2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Aufgabe *

Es seien ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ und ${}A={\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$ Matrizen über einem Körper ${}K$ mit

${}A\circ M={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$

Zeige  direkt, dass dann auch

${}M\circ A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

gilt.

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}2&7\\-4&9\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe *

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}2&4&0\\-1&0&3\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}1&2&3\\6&-1&-2\\0&3&7\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2+3{\mathrm {i} }&1-{\mathrm {i} }\\5-4{\mathrm {i} }&6-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe *

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2+5{\mathrm {i} }&1-2{\mathrm {i} }\\3-4{\mathrm {i} }&6-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem

${}M{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}54+72{\mathrm {i} }\\0\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Führe für die Matrix

${\begin{pmatrix}3&-2&5\\1&7&-4\\9&17&-2\end{pmatrix}}$

das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.

Aufgabe *

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}4&3\\5&1\end{pmatrix}}\,.$

Finde Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ derart, dass ${}E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe

Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix

${\begin{pmatrix}3&2&6\\4&1&5\\6&-1&3\end{pmatrix}}.$

Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.

Aufgabe

Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann surjektiv ist, wenn es eine ${}n\times m$-Matrix ${}A$ mit ${}M\circ A=E_{m}$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}B$ eine ${}n\times p$- Matrix und ${}A$ eine ${}m\times n$-Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Abschätzung

${}\operatorname {rang} \,A\circ B\leq {\min {\left(\operatorname {rang} \,A,\operatorname {rang} \,B,\right)}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}A$ eine invertierbare ${}m\times m$-Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Gleichung

${}\operatorname {rang} \,A\circ M=\operatorname {rang} \,M\,$

gilt.

Unter einer Blockmatrix versteht man eine ${}m\times n$- Matrix der Form

${\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},$

wobei ${}A$ eine ${}r\times s$-Matrix, ${}B$ eine ${}r\times (n-s)$-Matrix, ${}C$ eine ${}(m-r)\times s$-Matrix und ${}D$ eine ${}(m-r)\times (n-s)$-Matrix ist.

Aufgabe

Es sei eine Blockmatrix der Form

${}M={\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}}\,$

gegeben. Zeige, dass der Rang von ${}M$ gleich der Summe der Ränge von ${}A$ und von ${}B$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

$M={\begin{pmatrix}2&3&2\\5&0&4\\1&-2&3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix

${}M={\begin{pmatrix}5+8{\mathrm {i} }&3-7{\mathrm {i} }\\2-9{\mathrm {i} }&4-5{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}3&5&-1\\4&7&2\\2&-3&6\end{pmatrix}}\,.$

Finde Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ derart, dass ${}E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&k+2&k+1\\0&0&k+1&k\\-k&k+1&0&0\\k+1&-(k+2)&0&0\end{pmatrix}}$

für jedes ${}k\in K$ zu sich selbst invers ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

unter der Voraussetzung ${}ad-bc\neq 0$ durch.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,$

gilt.