Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 12

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine invertierbare Matrix $M$ weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt.

Aufgabe *

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix derart, dass es $n\times n$-Matrizen $A,B$ mit  $M\circ A=E_n$  und mit  $B\circ M=E_n$  gibt. Zeige  $A=B$  und dass $M$ invertierbar ist.

Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ invertierbare $n\times n$-Matrizen. Zeige, dass auch $M\circ N$ invertierbar ist, und dass

$(M\circ N{)}^{-1}=N^{-1}\circ M^{-1}$

gilt.

Aufgabe *

Es sei $M$ eine invertierbare obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass die inverse Matrix $M^{-1}$ ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix ist.

Aufgabe

Es sei $M$ eine invertierbare obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass die Diagonalelemente von $M$ von $0$ verschieden sind.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix  $M\in {\mathrm{Mat}}_{m\times n}(K)$  beschrieben werde. Zeige, dass $\phi$ genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von $K^m$ bilden.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $M$ eine $m\times n$-Matrix mit Einträgen in $K$. Zeige, dass die Multiplikation mit $m\times m$-Elementarmatrizen von links mit $M$ folgende Wirkung haben.

1. $V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$.
2. $(S_k(s))\circ M=$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$.
3. $(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile ($i\ne j$).

Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.

Aufgabe *

1. Überführe die Matrixgleichung

   $\left(\begin{array}{cc}3& 7\\ -4& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

   in ein lineares Gleichungssystem.

2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Aufgabe *

Es seien  $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$  und  $A=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$  Matrizen über einem Körper $K$ mit

$A\circ M=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$

Zeige  direkt, dass dann auch

$M\circ A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

gilt.

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu

$M=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ -4& 9\end{array}\right).$

Aufgabe *

Bestimme die inverse Matrix zu

$\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 0\\ -1& 0& 3\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 6& -1& -2\\ 0& 3& 7\end{array}\right).$

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix

$M=\left(\begin{array}{cc}2+3\mathrm{i}& 1-\mathrm{i}\\ 5-4\mathrm{i}& 6-2\mathrm{i}\end{array}\right).$

Aufgabe *

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

$M=\left(\begin{array}{cc}2+5\mathrm{i}& 1-2\mathrm{i}\\ 3-4\mathrm{i}& 6-2\mathrm{i}\end{array}\right)$

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem

$M\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}54+72\mathrm{i}\\ 0\end{array}\right).$

Aufgabe

Führe für die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 5\\ 1& 7& -4\\ 9& 17& -2\end{array}\right)$

das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.

Aufgabe *

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 5& 1\end{array}\right).$

Finde Elementarmatrizen $E_1,\dots ,E_k$ derart, dass $E_k\circ \cdots \circ E_1\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe

Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 6\\ 4& 1& 5\\ 6& -1& 3\end{array}\right).$

Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.

Aufgabe

Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.

Aufgabe

Es sei $M$ eine $m\times n$-Matrix und $\phi :K^n\to K^m$ die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann surjektiv ist, wenn es eine $n\times m$-Matrix $A$ mit  $M\circ A=E_m$  gibt.

Aufgabe

Es sei $B$ eine $n\times p$-Matrix und $A$ eine $m\times n$-Matrix über einem Körper $K$. Zeige, dass für den Spaltenrang die Abschätzung

$\mathrm{rang}A\circ B\le min(\mathrm{rang}A,\mathrm{rang}B,)$

gilt.

Aufgabe

Es sei $M$ eine $m\times n$-Matrix und $A$ eine invertierbare $m\times m$-Matrix. Zeige, dass für den Spaltenrang die Gleichung

$\mathrm{rang}A\circ M=\mathrm{rang}M$

gilt.

Unter einer Blockmatrix versteht man eine $m\times n$-Matrix der Form

$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right),$

wobei $A$ eine $r\times s$-Matrix, $B$ eine $r\times (n-s)$-Matrix, $C$ eine $(m-r)\times s$-Matrix und $D$ eine $(m-r)\times (n-s)$-Matrix ist.

Aufgabe

Es sei eine Blockmatrix der Form

$M=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)$

gegeben. Zeige, dass der Rang von $M$ gleich der Summe der Ränge von $A$ und von $B$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 2\\ 5& 0& 4\\ 1& -2& 3\end{array}\right).$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix

$M=\left(\begin{array}{cc}5+8\mathrm{i}& 3-7\mathrm{i}\\ 2-9\mathrm{i}& 4-5\mathrm{i}\end{array}\right).$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$M=\left(\begin{array}{ccc}3& 5& -1\\ 4& 7& 2\\ 2& -3& 6\end{array}\right).$

Finde Elementarmatrizen $E_1,\dots ,E_k$ derart, dass $E_k\circ \cdots \circ E_1\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}0& 0& k+2& k+1\\ 0& 0& k+1& k\\ -k& k+1& 0& 0\\ k+1& -(k+2)& 0& 0\end{array}\right)$

für jedes  $k\in K$  zu sich selbst invers ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe das Verfahren 12.11 für die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

unter der Voraussetzung $ad-bc\ne 0$ durch.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ der Dimension $n$ bzw. $m$. Es sei

$\phi :V⟶W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix  $M\in {\mathrm{Mat}}_{m\times n}(K)$  beschrieben werde. Zeige, dass

$\mathrm{rang}\phi =\mathrm{rang}M$

gilt.