Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 41/latex
\setcounter{section}{41}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}}{} und den Kern der
\definitionsverweis {transponierten Matrix}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {winkeltreue Abbildung}{}{} auf einem \definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{} $V$. Zeige, dass die \definitionsverweis {adjungierte Abbildung}{}{} ebenfalls winkeltreu ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {.}
Es seien
\maabbdisp {\varphi, \psi} {V} {V
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass $\psi$ genau dann die
\definitionsverweis {adjungierte Abbildung}{}{}
zu $\varphi$ ist, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi(v_i) , v_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v_i , \psi( v_j ) \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i,j
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3
} {}
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5-2 { \mathrm i} & 3-7 { \mathrm i} & 4-7 { \mathrm i} \\ 1-8 { \mathrm i} & 9-2 { \mathrm i} & 17 { \mathrm i} \\6 & 8-9 { \mathrm i} & 2-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Bestimme die Matrix des
\definitionsverweis {adjungierten Endomorphismus}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {\R^2} { \R^2
} {}
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} -3 & 7 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}}{} beschrieben. Auf dem $\R^2$ sei ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\Psi$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(e_1,e_1)
}
{ = }{4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(e_2,e_2)
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(e_1,e_2)
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Bestimme die Matrix des
\definitionsverweis {adjungierten Endomorphismus}{}{}
zu $\varphi$ bezüglich des gegebenen Skalarproduktes und bezüglich der Basis
\mathl{\begin{pmatrix} 3 \\-5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\4 \end{pmatrix}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {adjungierte Endomorphismus}{}{}
folgende Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi + \psi \right) }^{\hat{} }
}
{ =} {\hat{ \varphi } + \hat{ \psi }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( s \varphi \right) }^{\hat{} }
}
{ =} { \overline{ s } \hat{ \varphi }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \hat{ \varphi } \right) }^{\hat{} }
}
{ =} { \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \varphi \circ \psi \right) }^{\hat{} }
}
{ =} { \hat{ \psi } \circ \hat{ \varphi }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{}
und
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
mit
\definitionsverweis {adjungiertem Endomorphismus}{}{}
\mathl{\hat{ \varphi }}{.} Es sei
\maabb {\psi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{.}
Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus zu
\maabbdisp {\psi \circ \varphi \circ \psi^{-1}} {W} {W
} {}
gleich
\mathl{\psi \circ \hat{ \varphi } \circ \psi^{-1}}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein endlichdimensionaler \definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} und einer ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {.} Es sei $\hat{ \varphi }$ der \definitionsverweis {adjungierte Endomorphismus}{}{} zu $\varphi$. Zeige, dass $\hat{ \varphi }$ mit dem adjungierten Endomorphismus zu $\varphi$, aufgefasst als reell-lineare Abbildung, bezüglich des zugehörigen reellen Skalarproduktes übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass die Zuordnung
\maabbeledisp {} { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } } { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }
} {\varphi} { \hat{ \varphi }
} {,}
\definitionsverweis {antilinear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {V_1 \oplus V_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
der Untervektorräume
\mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {.}
Es seien
\maabbdisp {\varphi_1} {V_1} {V_1
} {}
und
\maabbdisp {\varphi_2} {V_2} {V_2
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \varphi_1 \oplus \varphi_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Summe davon.
\aufzaehlungzwei {Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h.
\mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {}
stehen senkrecht aufeinander. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \hat{ \varphi }
}
{ =} { \hat{ \varphi_1 } \oplus \hat{ \varphi_2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
${ V }^{ * }$.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle f , g \right\rangle
}
{ \defeq} { \left\langle
\operatorname{Grad} \, f ,
\operatorname{Grad} \, g \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
auf dem Dualraum erklärt wird.
} {Zeige, dass die natürliche Abbildung
\maabbeledisp {} {V} { { V }^{ * }
} {v} { \left\langle v , - \right\rangle
} {,}
eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
zwischen
\mathkor {} {V} {und} {{ V }^{ * }} {}
stiftet.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Die Identität ist
\definitionsverweis {selbstadjungiert}{}{.}
}{Die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von zwei selbstadjungierten Abbildungen ist wieder selbstadjungiert.
}{Zu einer
\definitionsverweis {bijektiven}{}{}
selbstadjungierten Abbildung ist auch die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
selbstadjungiert.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {selbstadjungierter}{}{}
Endomorphismus und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass auch die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
\maabbdisp {\varphi{{|}}_U} {U} {U
} {}
selbstadjungiert ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass es zu jeder
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ { V }^{ * }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen eindeutig bestimmten Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(v)
}
{ =} { \left\langle y , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einen eindeutig bestimmten Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(v)
}
{ =} { \left\langle v , z \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {selbstadjungierten Endomorphismen}{}{}
von $V$ einen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
in
\mathl{\operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} auf einem \definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{} $V$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {selbstadjungiert}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $\varphi$ gleich $1$ oder gleich $2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {reell-symmetrische}{}{} $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige, dass $M$ einen \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} das durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v_i , v_j \right\rangle
}
{ =} { \begin{cases} 1, \text{ falls } i = j, \\ 0 \, \text{ sonst}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
auf $V$. Zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
bezeichne
\mathl{\Psi_\varphi}{} die
\zusatzklammer {über \mathlk{\left\langle - , - \right\rangle}{}} {} {}
zugehörige
\definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
von $\Psi_\varphi$ bezüglich der Basis mit der
\definitionsverweis {beschreibenden Matrix}{}{}
von $\varphi$ bezüglich der Basis übereinstimmt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien $V_1 , \ldots , V_n, V_{n+1}$
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über ${\mathbb C}$, es seien
\maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_{i+1}
} {}
\definitionsverweis {lineare}{}{}
oder
\definitionsverweis {antilineare}{}{}
Abbildungen und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \varphi_n \circ \varphi_{n-1} \circ \cdots \circ \varphi_2 \circ \varphi_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
der Abbildungen. Zeige durch Induktion über $n$ die beiden folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist $\varphi$ linear.
} {Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist $\varphi$ antilinear.
}
Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {\R^2} { \R^2
} {}
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} -6 & -3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}}{} beschrieben. Auf dem $\R^2$ sei ein
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\Psi$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(e_1,e_1)
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(e_2,e_2)
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Psi(e_1,e_2)
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Bestimme die Matrix des
\definitionsverweis {adjungierten Endomorphismus}{}{}
zu $\varphi$ bezüglich des gegebenen Skalarproduktes und bezüglich der Basis
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\-3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\-7 \end{pmatrix}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R^2
} {}
die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\6 \end{pmatrix}}{} durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 7 \end{pmatrix}}{} gegeben sei. Bestimme die Matrix zum
\definitionsverweis {adjungierten Endomorphismus}{}{}
von $\varphi$ bezüglich dieser Basis.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^2} { {\mathbb C}^2
} {}
die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 4 & -2+ 9 { \mathrm i} \\ -2-9 { \mathrm i} & 5 \end{pmatrix}}{} gegeben sei. Bestimme die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
von $\varphi$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (1+1+1+1)}
{
Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}} { , }
aufgefasst als lineare Abbildung von $\R^2$ nach $\R^2$, nicht
\definitionsverweis {selbstadjungiert}{}{}
ist, und zwar mit den folgenden Methoden.
\aufzaehlungvier{Bestimme die
\definitionsverweis {adjungierte Abbildung}{}{}
zu $M$.
}{Lemma 41.10 (1)
ist nicht erfüllt.
}{Lemma 41.10 (3)
ist nicht erfüllt.
}{Es gibt keine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $\R^2$ aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
zu $M$
\zusatzklammer {d.h. die Konklusion aus
Satz 41.11
ist nicht erfüllt.} {} {}
}
}
{} {}