Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{W =[0,1[^n}{} der halboffene Einheitswürfel im $\R^n$. Zeige, dass für jedes
\mathl{k \in \N_+}{} und das zugehörige
\definitionsverweis {Gittermaß}{}{} $\mu_{ { \frac{ 1 }{ k } } }$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_{ { \frac{ 1 }{ k } } } (W)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \Q \cap [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das zugehörige
\definitionsverweis {Gittermaß}{}{}
$\mu_{ \epsilon }$. Zeige, dass
\mathdisp {\lim_{k \rightarrow \infty} \mu_{ { \frac{ 1 }{ k } } }(T)} { }
existiert, dass aber
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ \epsilon \rightarrow 0 } \, \mu_{ \epsilon }(T)} { }
nicht existiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $(M, {\mathcal A }, \mu)$ ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{}
und seien
\mathbed {T_i \subseteq M} {}
{i =1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {messbare Teilmengen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\mu(T_i)
}
{ < }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J
}
{ \subseteq }{ \{1 , \ldots , n\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_J
}
{ =} { \bigcap_{i \in J} T_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu { \left( \bigcup_{i = 1}^n T_i \right) }
}
{ =} { \sum_{k = 1}^n (-1)^{k+1} { \left( \sum_{J \subseteq \{1 , \ldots , n \} ,\, { \# \left( J \right) } = k } \mu (T_J) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[0,1]} {\R_{\geq 0}
} {}
eine
\definitionsverweis {streng wachsende Funktion}{}{.}
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir die
\definitionsverweis {äquidistante Unterteilung}{}{}
des Einheitsintervalls in $k$ gleichlange Teilintervalle und die zugehörige maximale untere
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{}
$s_k$ von $f$ und die zugehörige minimale obere Treppenfunktion $t_k$. Es seien
\mathkor {} {S_k} {bzw.} {T_k} {}
die zugehörigen
\definitionsverweis {Subgraphen}{}{.}
a) Zeige, dass im Allgemeinen
\mathbed {S_{k}} {}
{k \in \N_+} {}
{} {} {} {,}
keine
\definitionsverweis {Ausschöpfung}{}{}
und
\mathbed {T_{k}} {}
{k \in \N_+} {}
{} {} {} {,}
keine
\definitionsverweis {Schrumpfung}{}{}
ist.
b) Zeige, dass
\mathbed {S_{2^n}} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,}
eine Ausschöpfung und
\mathbed {T_{2^n}} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,}
eine Schrumpfung ist.
c) Welche Mengen werden in (b) ausgeschöpft bzw. geschrumpft, und wie verhalten sich diese Mengen zum Subgraphen von $f$?
d) Wogegen \definitionsverweis {konvergieren}{}{} die zugehörigen Folgen von \definitionsverweis {Treppenintegrale}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man zeige durch ein Beispiel, dass die \anfuehrung{Schrumpfungsformel}{} aus Lemma 3.4 (6) nicht ohne die Endlichkeitsvoraussetzung gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige durch ein Beispiel, dass Satz 3.7 ohne die Voraussetzung, dass es eine Ausschöpfung mit endlichem Maß gibt, nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Überdeckung aus
\definitionsverweis {offenen Mengen}{}{,}
wobei $I$
\definitionsverweis {abzählbar}{}{}
sei. Zeige folgende Aussagen.
a) Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist genau dann eine
\definitionsverweis {Borelmenge}{}{,}
wenn
\mathl{T \cap U_i}{} eine Borelmenge ist für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
b) Ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endliches}{}{}
\definitionsverweis {Maß}{}{}
$\mu$ ist durch die Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_i
}
{ = }{ \mu {{|}}_{U_i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindeutig bestimmt.
c) Es sei für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $\sigma$-endliches Maß $\mu_i$ auf $U_i$ gegeben. Für jedes Paar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i,j
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu_i {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ =} {\mu_j {{|}}_{U_i \cap U_j}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes $\sigma$-endliches Maß auf $X$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu {{|}}_{U_i}
}
{ = }{ \mu_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\beta} {\R^k} { \R_{\geq 0}
} {}
eine
\definitionsverweis {Belegungsfunktion}{}{}
mit dem zugehörigen Summationsmaß $\mu$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { { \left\{ x \in \R^n \mid \beta (x) >0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\mu$ genau dann
$\sigma$-\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist, wenn $T$
\definitionsverweis {abzählbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\beta} {\R^k} { \R_{\geq 0} \cup \{ \infty \}
} {}
eine
\definitionsverweis {Belegungsfunktion}{}{}
mit dem zugehörigen Summationsmaß $\mu$. Für jede
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $\R^k$ sei die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 0}^\infty \beta (x_n)
}
{ < }{ \infty
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt. Zeige, dass $\mu$
$\sigma$-\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Bildmaß}{}{} eines \definitionsverweis {Maßes}{}{} unter einer \definitionsverweis {messbaren Abbildung}{}{} in der Tat ein Maß ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{(M, {\mathcal A })}{,}
\mathl{(N, {\mathcal B })}{} und
\mathl{(S, {\mathcal C })}{}
\definitionsverweis {Messräume}{}{} und
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {} und \maabbdisp {\psi} {N} {S
} {}
\definitionsverweis {messbare Abbildungen}{}{.} Es sei $\mu$ ein
\definitionsverweis {Maß}{}{} auf $M$. Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Bildmaße}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(\psi \circ \varphi)_*\mu
}
{ =} { \psi_*( \varphi_*\mu)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {Messräume}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathl{\delta_x}{} das im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konzentrierte
\definitionsverweis {Dirac-Maß}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_*(\delta_x)
}
{ = }{ \delta_{\varphi(x)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {Messräume}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {messbare Abbildung}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\beta} {M} { \R_{\geq 0} \cup \{ \infty \}
} {}
eine
\definitionsverweis {Belegungsfunktion}{}{}
mit dem zugehörigen Summationsmaß $\mu$. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
\mathl{\varphi_* \mu}{} ebenfalls ein Summationsmaß ist und bestimme die zugehörige Belegungsfunktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 = 1 , \, y \geq 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der obere Einheitshalbkreis und
\maabbeledisp {p} {M} { [-1,1]
} {(x,y)} {x
} {,}
die Projektion auf die $x$-Achse. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seien
\mathl{n+1}{} Punkte auf $M$ gleichverteilt in dem Sinne, dass
\mathkor {} {(1,0)} {und} {(-1,0)} {}
dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist.
a) Skizziere die Situation für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einschließlich der Bildpunkte unter $p$.
b) Es sei $\mu_n$ das
\definitionsverweis {Zählmaß}{}{}
auf $M$, bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert $1$ erhält und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\nu_n
}
{ =} { p_* \mu_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das zugehörige
\definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
auf
\mathl{[-1,1]}{.} Man gebe eine Formel für
\mathdisp {\nu_n([ t ,1])} { }
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ t
}
{ \in }{ [-1,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
mit Hilfe des
\definitionsverweis {Arkuskosinus}{}{}
an.
c) Bestimme
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \nu_n([1- { \frac{ 2 }{ n } } ,1])} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Produkttopologie}{}{}
auf
\mathl{X \times Y}{} die kleinste Topologie ist, bezüglich der die beiden
\definitionsverweis {Projektionen}{}{}
\mathkor {} {X \times Y \rightarrow X} {und} {X \times Y \rightarrow Y} {}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Diagonale}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle
}
{ =} {{ \left\{ (x,y) \in X \times X \mid x = y \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{}
im
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{X \times X}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{X,Y,Z}{}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und
\maabbdisp {f} {X} {Y
} {}
und
\maabbdisp {g} {X} {Z
} {}
\definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {(f,g)} { X} {Y \times Z
} {x} { (f(x),g(x))
} {,}
ebenfalls stetig ist.
}
{} {}
Es sei $M$ eine Menge. Unter der \definitionswort {diskreten Topologie}{} auf $M$ versteht man diejenige
\definitionsverweis {Topologie}{}{,}
bei der jede Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{} ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {diskrete topologische Räume}{}{.} Zeige, dass auch der \definitionsverweis {Produktraum}{}{} diskret ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Belegungsfunktion}{}{} zum \definitionsverweis {Gittermaß}{}{} zum Gitterabstand $\epsilon >0$ im $\R^n$.
}
{} {}
Eine \definitionswort {Äquivalenzrelation}{} auf einer Menge $M$ ist eine
\definitionsverweis {Relation}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{M \times M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die die folgenden drei Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x,y,z
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\definitionswort {reflexiv}{}} {} {.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \sim }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\definitionswort {symmetrisch}{}} {} {.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \sim }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\definitionswort {transitiv}{}} {} {.}
}
Dabei bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass das Paar
\mathl{(x,y)}{} zu $R$ gehört.
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
\definitionsverweis {Maßraum}{}{,} $(N, {\mathcal B } )$ ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{} und
\mathl{C}{} die Menge der
\definitionsverweis {messbaren Abbildungen}{}{} von
\mathkor {} {M} {nach} {N} {.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mathdisp {f \sim g, \text{ falls } \mu ( { \left\{ x \in M \mid f(x) \neq g(x) \right\} } ) = 0} { }
\zusatzklammer {dabei sei vorausgesetzt, dass diese Mengen messbar seien} {} {.}
Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {abgeschlossene Kreisscheibe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 1 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ \epsilon \rightarrow 0 } \, \mu_{ \epsilon }(S)
}
{ =} { \pi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\mu_{ \epsilon }$ das
\definitionsverweis {Gittermaß}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet.
}
{} {(Man denke an das Riemann-Integral.)}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
$\sigma$-\definitionsverweis {endlichen Maßraum
}{}{}
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} und eine
\definitionsverweis {messbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
in einen
\definitionsverweis {Messraum}{}{}
$N$ derart, dass das
\definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
$\varphi_*\mu$ nicht $\sigma$-endlich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {(M_1,d_1)} {und} {(M_2,d_2)} {}
\definitionsverweis {metrische Räume}{}{.}
Zeige, dass auf der
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{M_1 \times M_2}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d( (x_1,x_2), (y_1,y_2))
}
{ =} { \sqrt{ d_1(x_1,y_1)^2 + d_2(x_2,y_2)^2 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte
\definitionsverweis {Topologie}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Produkttopologie}{}{}
übereinstimmt.
}
{} {}