Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Fakt/Beweis

Beweis

Für jede messbare Menge ${}T\in {\mathcal {A}}$ ist ${}(T\cap M_{n})\uparrow T$ eine Ausschöpfung von ${}T$, sodass es nach Fakt  (5) genügt, die Gleichheit

${}\mu _{1}(T\cap M_{n})=\mu _{2}(T\cap M_{n})\,$

für alle ${}T\in {\mathcal {A}}$ und alle ${}n\in \mathbb {N}$ zu zeigen. Es sei ${}n$ fixiert. Wir betrachten das Mengensystem

${}{\mathcal {D}}_{n}={\left\{T\in {\mathcal {A}}\mid \mu _{1}(T\cap M_{n})=\mu _{2}(T\cap M_{n})\right\}}\,$

und wir wollen zeigen, dass dies ganz ${}{\mathcal {A}}$ ist. Da ${}{\mathcal {E}}$ durchschnittstabil ist, gehört nach Voraussetzung jede Menge ${}E\in {\mathcal {E}}$ zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$. Wir behaupten, dass ${}{\mathcal {D}}_{n}$ ein Dynkin-System ist. Offenbar ist ${}M\in {\mathcal {D}}_{n}$. Seien ${}S\subseteq T$ Teilmengen, die zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$ gehören. Dann ist

${}{\begin{aligned}\mu _{1}{\left((T\setminus S)\cap M_{n}\right)}&=\mu _{1}{\left({\left(T\cap M_{n}\right)}\setminus {\left(S\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{1}(T\cap M_{n})-\mu _{1}(S\cap M_{n})\\&=\mu _{2}(T\cap M_{n})-\mu _{2}(S\cap M_{n})\\&=\mu _{2}{\left({\left(T\cap M_{n}\right)}\setminus {\left(S\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{2}((T\setminus S)\cap M_{n}),\end{aligned}}$

sodass auch ${}T\setminus S$ zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$ gehört. Es sei schließlich ${}T_{i}$, ${}i\in I$, eine abzählbare Familie paarweise disjunkter Teilmengen aus ${}{\mathcal {D}}_{n}$, und sei

${}T=\bigcup _{i\in I}T_{i}\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}\mu _{1}{\left(T\cap M_{n}\right)}&=\mu _{1}{\left(\bigcup _{i\in I}(T_{i}\cap M_{n})\right)}\\&=\sum _{i\in I}\mu _{1}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\\&=\sum _{i\in I}\mu _{2}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\\&=\mu _{2}{\left(\bigcup _{i\in I}{\left(T_{i}\cap M_{n}\right)}\right)}\\&=\mu _{2}{\left(T\cap M_{n}\right)},\end{aligned}}$

sodass auch ${}T$ zu ${}{\mathcal {D}}_{n}$ gehört.
Damit ist ${}{\mathcal {D}}_{n}$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem ${}{\mathcal {E}}$ enthält. Nach Fakt ist daher ${}{\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {D}}_{n}$, und es gilt Gleichheit.

Zur bewiesenen Aussage