Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Fakt/Beweis

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Beweis

Für jede messbare Menge ist eine Ausschöpfung von , so dass es nach Fakt  (5) genügt, die Gleichheit

für alle und alle zu zeigen. Sei fixiert. Wir betrachten das Mengensystem

und wir wollen zeigen, dass dies ganz ist. Da durchschnittstabil ist, gehört nach Voraussetzung jede Menge zu . Wir behaupten, dass ein Dynkin-System ist. Offenbar ist . Seien Teilmengen, die zu gehören. Dann ist

so dass auch zu gehört. Sei schließlich , , eine abzählbare Familie paarweise disjunkter Teilmengen aus , und sei . Dann ist

so dass auch zu gehört.
Damit ist ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem enthält. Nach Fakt ist daher , und es gilt Gleichheit.

Zur bewiesenen Aussage