Beweis
Für jede
messbare Menge
ist
eine
Ausschöpfung
von
, sodass es nach
Fakt (5)
genügt, die Gleichheit
-

für alle
und alle
zu zeigen. Es sei
fixiert. Wir betrachten das Mengensystem
-

und wir wollen zeigen, dass dies ganz
ist. Da
durchschnittstabil ist, gehört nach Voraussetzung jede Menge
zu
.
Wir behaupten, dass
ein
Dynkin-System
ist. Offenbar ist
.
Seien
Teilmengen, die zu
gehören. Dann ist

sodass auch
zu
gehört. Es sei schließlich
,
,
eine
abzählbare Familie
paarweise disjunkter
Teilmengen aus
, und sei
-

Dann ist

sodass auch
zu
gehört.
Damit ist
ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem
enthält. Nach
Fakt
ist daher
,
und es gilt Gleichheit.