Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Polynomalgebra

Einführung

Für den multiplikativen algebraischen Abschluss einer Algebra $A$ , die ein zusätzliches Element $t\notin A$ enthält, müssen auch

multiplikative Verknüpfung mit sich wieder in einer Algebra liegen (d.h. also auch $t^{n}\in A[t]$ mit $n\in \mathbb {N} _{o}$ , wobei $t^{0}:=e$ definiert wird) und auch
die beliebige multiplikative Verknüpfungen von $t^{n}\in A[t]$ mit Elementen aus, d.h. $a\cdot t^{n}\in A[t]$ wieder in $A[t]$ liegen.
der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass Polynome mit Koeffizienten aus $A$ als algebraischer Abschluss entsteht.

Algebraische Abschluss - Vollständigkeit

Auch wenn die Polynomalgebra $A[t]$ mit den Multiplikation mit Skalaren, der Addition und Multiplikation mit einem zusätzlichen Element abgeschlossen ist, so muss nach einer Topologisierung der Polynomalgebra ggf. noch untersuchen, ob die Polynomalgebra auch vollständig ist.

Definition: Polynomnalgebra

Sei ${\textstyle A[t]}$ die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in $A$ der Form

p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)

Bemerkung

Aus der Notation von $\sum _{k=0}^{\infty }\ldots$ kann man dabei nicht erkennen, welchen Grad $Grad(p)$ das Polynom $p\in A[t]$ besitzt. Die Bedingung $(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)$ bedeutet aber, dass die Koeffizientenfolge eine Art endliche Folge ist, bei der ab einer Indexschranke $n_{o}\in \mathbb {N}$ alle Koeffizienten mit höherem Index dem Nullvektor $0_{A}$ der Algebra entsprechen. Vorteil dieser Notation liegt in der Schreibweise des Cauchyproduktes, weil man dabei aufwendig nach Grad der multiplizierten Polynome entscheiden muss.

Siehe auch