Für den multiplikativen algebraischen Abschluss einer Algebra , die ein zusätzliches Element enthält, müssen auch
- multiplikative Verknüpfung mit sich wieder in einer Algebra liegen (d.h. also auch mit , wobei definiert wird) und auch
- die beliebige multiplikative Verknüpfungen von mit Elementen aus, d.h. wieder in liegen.
- der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass Polynome mit Koeffizienten aus als algebraischer Abschluss entsteht.
Mit einem System aus topologieerzeugenden Gaugefunktionalen kann man dann einen topologischen Abschluss der Polynomalgebra definieren.
Sei die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in der Form
Die Notation von kann dabei nichts über die Konvergenz einer Reihe aussagen, denn dazu ist eine Topologisierung der Algebra notwendig. definiert rein algebraisch eine Potenzreihe mit beliebigen Koeffizienten aus der Algebra .
Potenzreihe als Folge von Partialsummen
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Für ein feste fasst man als Folge der Partialsummen auf
wird analog zur Polynomalgebra die Cauchymultiplikation von zwei Potenzreihen als multiplikative Verknüpfung wie folgt definiert.
Ein Element kann mit dem konstanten Polynom identifiziert werden.
Seien zwei Potenzreihen gegeben mit:
Die Gleichheit von Potenzreihen wird über die Koeffizientengleichheit definiert:
Die Gleichheit von Potenzreihen bzw. Polynomen muss man nicht notwendigerweise über die Koeffizientengleicheit definieren, sondern kann auch über die Gleichheit der Bilder für alle aus dem Definitionsbereich .
Verwendet man z.B. den Restklassenring modulo 3 als Definitionsbereiches eines Polynoms, so unterscheidet sich das Polynom
vom Nullpolynom bzgl. der Koeffizienten von und . Dennoch gilt für alle die Bedingung .
Im weiteren Lerneinheit zu topologischen Invertierbarkeitskriterien soll die Gleichheit der Potenzreihen bzw. Polynome dann und nur dann gegeben sein, wenn zwei Polynome koeffizientengleich für alle Koeffizienten von ist.
Sei eine Algebra und die Algebra der Potenzreihen mit Koeffizienten in . Ferner sei ein System aus Gaugefunktionalen definiert, wird dann mit bezeichnet man mit den topologischen Abschluss der Polynomalgebra . bzgl. des Gaugefunktionalsystems definiert, dass jeder Potenzreihe . Dabei geören alle zu , wenn folgende Bedingung gilt für alle .
Induzierte Topologien von der Algebra auf die Potenzreihenalgebra
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Sei eine topologische Algebra der Klasse .
Ferner sei zu jedem und eine positive Konstante und ein -Funktional gewählt, durch dass die folgenden Gaugefunktionale bzw. -Gaugefunktionale auf dem Vektorraum aller
Potenzreihen mit Koeffizienten in definiert werden:
Topologischer Abschluss der Polynomalgebra bzgl. Gaugefunktionalsystem
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Mit bezeichnet man dann den topologischen Abschluss von bzgl. , d.h. Vektorraum aller Potenzreihen mit Koeffizienten in , die zusätzlich folgende Bedingung erfüllen:
Topologisierung der Potenzreihenalgebra und Algebraerweiterung
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Die Potenzreihenalgebra wird nun in einer Weise topologisiert, die von dem Gaugefunktionalsystem auf abhängt. Diese Vorgehen ist notwendig, damit man für die Konstruktion der Algebraerweiterung die Algebra in einbetten kann. D.h. die unitale Algebra aus einer Klasse wird in die Algebraerweiterung durch einen Algebraisomorphismus
eingebettet:
- , wobei ist das Einselement von und das Einselement von ist.
- ist homöomorph zu ; d.h. und sind stetig.
Bemerkung: Stetigkeit Algebraisomorphismus
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Die Stetigkeit des Algebraisomorphismus und der Umgekehrabbildung von wird später über die Gaugefunktionalsysteme auf und der von auf induzierten Relativtopologie nachgewiesen.
Lemma: Isotone Folge von Gaugefunktionalen
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Sei
und es seien
isotone Folgen von Gaugefunktionalen mit
Koeffizienten , für die gelten:
- für alle
- für alle und
- für alle und
- für alle und .
Voraussetzung 2 - Gaugefunktionalsysteme auf Potenzreihenalgebra
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Auf seien folgende vier Systeme
,
,
,
von Gaugefunktionalen für
definiert:
Voraussetzung 2 - Definition der Gaugefunktionalsysteme
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Mit den obigen Voraussetzungen erzeugen die Systeme auf die gleiche
Topologie. Insbesondere erhält man zu einem festen für alle 4 gewählten Teilsysteme von Gaugefunktionalen
,\dots ,
.
das gleiche Teilsystem offener Mengen der Topologie .
Es gilt für alle , und
folgende Ungleichungskette:
Damit stimmen die Teilsysteme für ein festes , also auch die
Ausgangstopologie überein. q.e.d.
Gleichheit von Partialsummen von Potenzreihen
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Die Koeffizienten der Elemente von kann man auch über die Partialsummen eindeutig bestimmen. Dabei sind die Partialsummen eindeutig als Linearkombinationen in mit definiert. Allerdings müssen die Partialsummen als Folge in nicht notwendig konvergieren.
Koeffizientenvergleich bei Partialsummen 1
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Koeffizientenvergleich bei Partialsummen 2
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Da ein Hausdorffraum ist, gilt auch für alle .
Sei eine Algebra und
die Algebra aller Potenzreihen mit Koeffizienten in mit
Cauchymultiplikation. Die Partialsumme bis zum Grad einer
Potenzreihe ist folgendes Polynom:
Sei
eine Polynomalgebra. Dann bezeichnet
das System der Partialsummenfunktionale von
die mit
Die durch
erzeugte Topologie heißt Partialsummentopologie von
auf .
Die Partialsummentopologie ist gröber als die von
erzeugte Ausgangstopologie, denn
für gilt:
Die Partialsummentopologie erhält man, wenn man die
einzelnen Gaugefunktionale aus
mit den
Projektionen
auf die ersten Summanden des Polynoms verkettet und als
topologieerzeugende Funktionale auf wählt. sei dabei
beliebig gewählt.
Das folgende Lemma zeigt die Eindeutigkeit der Faktorisierung von beliebigen
Elementen durch und einer zu
gewählten formalen Potenzreihe .
In den folgenden Aufgaben werden einige kleiner Übungen zur Berechnung von
Norm - Matrixalegbra - Topologisierung Potenzreihenalgebra
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Gegeben sind die beiden Matrizen
mit dem Einselement in der Algebra .
ist mit der Norm
ein normierter Raum.
- Zeigen Sie, dass die Potenzreihe und der Norm nicht in liegt.
- Berechnen Sie und mit bzw. den oben definierten Koeffizienten in.
- Berechnen Sie für die Potenzreihe mit die Matrix !
Raum der reellwertigen stetigen Funktionen
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Wir betrachten Definitionsbereiches , der die Algebra der stetigen Funktionen von nach mit den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):
wird zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum.
- Topologisieren Sie die Polynomalgebra mit einem Halbnormensystem , das Sie mit definieren.
- .
- Hinweis: wählen Sie für die z.B. eine geometrische Reihe
- Zeigen Sie, dass die Halbnormen submultiplikativ sind, d.h. !
- Wählen Sie die Koeffizienten so, dass das Polynom mit für alle ein Element von der Potenzreihenalgebra ist. Das Polynom ist damit eine Potenzreihe, bei der alle Koeffizienten die cos-Funktion ist. Wählen Sie z.B. und berechnen Sie für alle . Welche Eigenschaft muss die Koeffizientenfolge allgemein besitzen, damit für alle liefert, also für alle einen endlichen Wert der Halbnormen leifert.
- Wählen Sie für die Koeffzientenfolge als eine eine geometrische Reihe mit und und zeigen Sie, dass
- mit dem Cauchy-Produkt auf erfüllt ist.
Sei eine unitale Algebra mit Einselement und beliebig gewählt. ist mit der Cauchymultiplikation eine Algebra, in der gilt:
ist zu jedem eindeutig bestimmt.
ist ein unitaler Ring und mit . Wir zeigen nun, dass invertierbar ist.
Man definiert zunächst über das gegebene ein Polynom mit:
Wir berechnen nun über
Damit definiert man .
Eindeutigkeit von : Seien gegeben, die die Eigenschaft besitzen. Für
erhält man:
q.e.d.
Die Koeffizienten der Elemente von sind eindeutig bestimmt, denn sei:
Da ein Hausdorffraum ist, gilt auch für alle .
Die Partialsummentopologie ist gröber als die von erzeugte Ausgangstopologie, denn für gilt:
Die Partialsummentopologie erhält man, wenn man die
einzelnen Gaugefunktionale aus
mit den
Projektionen
auf die ersten Summanden des Polynoms verkettet und als
topologieerzeugende Funktionale auf wählt. sei dabei
beliebig gewählt.
Das folgende Lemma zeigt die Eindeutigkeit der Faktorisierung von beliebigen
Elementen durch und einer zu
gewählten formalen Potenzreihe .
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