Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen

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Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.

Einführung[Bearbeiten]

In diesem Kurs wird Maßtheorie auf topologischen Räumen behandelt. Ziel ist es. auf Funktionenräumen von einen Definitionsbereich bereich Maße zu definieren. Über die Funktionen selbst gibt es nur diskrete Informationen.

Bezüge zu anderen mathematischen Disziplinen[Bearbeiten]

Im Folgenden werden zunächst Bezüge zu anderen mathematischen Inhalten hergestellt, aus den Sie die grundlegenden Konzepte bereits kennen. Diese Grafik gibt einen ersten Überblick über die Inhalte der Vorlesung und deren Zusammenhänge. Achtung: Die Graphik wird im Laufe der Vorlesung ergänzt.

Einbindung der SDGs in die Mathematik
Aus diskretem Gitter glatte Oberflächen erzeugen - NURBS

Wahrscheinlichkeitstheorie[Bearbeiten]

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden ebenfalls Maße behandelt. Zunächst auf einem diskreten Grundraum, bei denen einzelne Elemente des Grundraumes Wahrscheinlichkeitsmasse und bzw. bei stetigen Wahrscheinlichkeitsmaßen z.B. über eine Dichtefunktion über den reellen Zahlen integriert wird und Teilmengen aus dem Grundraum mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird.

Analysis[Bearbeiten]

Aus der Analysis kennt man bereits die Integration, mit der man für eine Funktion den "orientierten Flächeninhalt" auf einem Intervall messen kann. Die reellen Zahlen sind mit dem Betrag ein topologischer Raum, in dem man Konvergenz und Stetigkeit der Funktionen betrachtet. In der Lehrveranstaltung werden Maße auf Funktionenräumen definiert und auch der Konvergenzbegriff in auf allgemeine topologische Räume erweitert und Maße auf diesen Räumen definiert.

Maßtheorie[Bearbeiten]

Betrachtet man zunächst eine Funktion auf einem Grundraum , die z.B. eine gewisse Exposition an dem Ort beschreibt (z.B. radioaktive Strahlung oder eine Exposition mit Schadstoffen). Gleichzeitig bewegt man sich in dem Raum über einen Weg , der jedem Zeitpunkt einen Ort zuordnet, an dem sich eine Person zum Zeitpunkt befindet. Setzt man in ein, so erhält man mit die Exposition einer Person zum Zeitpunkt , wenn sich die Person am Ort befindet. Das Integral

Gibt dann die Exposition der Person auf dem Weg . Daten über einen Risikographen von liegen in der Regel als diskrete Informationen als Gitterpunkte im vor. Integration über messbare Teilmengen beschreiben über das Integral die Gesamtexposition in dem Gebiet . Dieses Integral kann auch näherungsweise über eine Volumenberechnung unter dem Gitter bestimmt werden oder über eine Interpolation über eine Interpolationsfunktion (z.B. NURBS).

Maße und Gaugefunktionale[Bearbeiten]

Auf -Vektorräumen kann man Maße als stetige lineare Funktionale auf Funktionenräumen auffassen. Auf dem Vektorraum der stetigen Funktion mit einer Norm:

ist allerdings bzgl. der Norm nicht vollständig. Die weitere maßtheoretische Betrachtung führt dann zu -Räumen mit .

Diskrete Informationen über unbekannte Funktionen[Bearbeiten]

Prozesse kann man über Abbildungen in Abhängigkeit von einem Zeitparameter verstehen und auch Zustände zu einem bestimmten Zeitpunkt kann man als Funktion auffassen. Also könnte z.B. die Exposition mit einem Schadstoff an einem Ort beschreiben ( Längengrad, Längengrad). Die Funktionen sind dabei i.d.R. nicht für alle in der Realität bekannt und auf für bestimmte Funktionen ist nicht die gesamte Funktion bekannten, sondern nur bestimmte endliche Menge von diskreten Informationen wie z.B. über die Funktionswerte an bestimmten Stellen/Orten oder zu bestimmten Gebieten im Definitionbereich der Funktionen.

Punktinformationen[Bearbeiten]

Ein Tupel liefert dabei ein Messdatum (z.B. Schadstoffmenge), die zum Zeitpunkt an dem Ort gemessen wurde. Diese Punktinformation über die Funktion kann man damit durch beschreiben. Mit diesen Punktinformationen kann man durch Einsatz von Interpolationsverfahren oder Approximationsverfahren die unbekannte Funktion näherungsweise beschreiben. Dies führt u.a. zu Konvergenzuntersuchungen auf Funktionenräumen.

Flächeninformationen[Bearbeiten]

Über die unbekannten Funktionen können Messungen aber nicht nur Daten an einzelnen Orten/Stellen liefern, sondern Messungen können auch Informationen zu Teilmengen aus dem Definitionenbereich liefern. Auf dem Areal (Rechteck) wurden bei einer Messung zwischen dem Zeitpunkten und beispielsweise Einheiten Treibhausgase emittiert. Dies lässt sich über Integrale beschreiben.

.

Ein einzelner Datensatz besteht dann

  • aus einer Fläche (als messbare Menge),
  • einer Messzeitspanne und
  • dem Messwert .

Da es in der Regel mehrere Messungen gibt besteht eine solche Sammlung von Flächeninformationen ebenfalls als Menge beschreiben

Diese Flächeninformationen kann man ebenfalls dazu verwenden, die unbekannten Funktionen zu approximieren.

Datendichten[Bearbeiten]

Die Anzahl der Informationen in bestimmten Gebieten ist eine wesentliches Kriterium für Entscheider und die Verlässlichkeit und Approximationsgüte der unbekannten Funktionswerte. Dies führt maßtheoretisch zu Datendichten in dem Grundraum , die mit Werkzeugen der Wahrscheinlichkeitstheorie (u.a. Gesetze der großen Zahlen) und Wahrscheinlichkeitsdichten maßtheoretisch untersucht werden kann.

Inhalte[Bearbeiten]

Kapitel 0[Bearbeiten]

Das Kapitel 0 enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind.

Kapitel 1 - Topologie - Stetigkeit - Wege[Bearbeiten]

Ziel des Kapitels ist es, einen Funktionenraum topologisieren zu können und Stetigkeit von Funktionen für topologische Räume zu behandeln.

Kapitel 1.1 - Wege in Funktionen[Bearbeiten]

Ausgehend von Wegen in Euklidischen Vektorräume werden Wege in Funktionenräume behandelt. Einfache Wege in Funktionenräumen sind Konvexkombinationen von Funktionen mit als stetige Deformation einer Funktion in eine Funktion .

Kapitel 1.2 - Diskrete Daten und Interpolation von Funktionen[Bearbeiten]


Kapitel 1.3 - Topologische Vektorräume und topologieerzeugende Gaugefunktionale[Bearbeiten]

Auf topologischen Vektorräumen ist der Umgang mit einem System von offenen Mengen aufwendig. Metriken, Normen Halbnormen helfen dabei, topologische Eigenschaften (wie z.B. Konvergenz, Stetigkeit, ...) über diese topologieerzeugende Funktionale (siehe Gaugefunktional) auszudrücken. Das Topologisierungslemma für topologische Algebren verallgemeinert (Halb-)Normen und stellt den Zusammenhang zwischen der Topologie und den topologieererzeugenden Gaugefunktionalen her. Kreisförmige Nullumgebung liefern z.B. über Minkowskifunktionale die absolute Homogenität , die bereits von Normen bekannt sind und die Konvexität der Nullumgebung die Gültigkeit der Dreiecksungleichung von Halbnormen.

Kapitel 1.5 - Stetigkeit von linearen Abbildungen[Bearbeiten]

Auf -Vektorräumen kann man Maße als stetige lineare Funktionale auf Funktionenräumen auffassen.

Der Vektorraum der stetigen Funktion mit der Norm

ist allerdings bzgl. der Norm nicht vollständig. Die weitere maßtheoretische Betrachtung führt dann zu -Räumen mit .

Kapitel 1.6 - Differenzierbarkeit auf topologische Algebren[Bearbeiten]

Kapitel 1.7 - Nachhaltigkeitsaspekte[Bearbeiten]

Kapitel 2[Bearbeiten]

Kapitel 3[Bearbeiten]

Dies Kapitel befasst sich mit der Verallgemeinerung des Integrationsbegriffes auf topologische Gruppen. Im Vergleich zu einem topologischen Vektorraum gibt es hier nur eine stetige Gruppenoperation mit stetiger Inversenbildung. Dies ist eine Verallgemeinerung des klassischen Integrationsbegriffes einer additiven Gruppe .

Software[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]

Weitere Hinweise zu Lerninhalten gliedern sich in

  • fachmathematische inhaltliche Bezüge und
  • fächerübergreifende Bezüge

Siehe auch - Fachmathematische Inhalte[Bearbeiten]

Siehe auch - Fächerübergreifende Inhalte[Bearbeiten]