Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Definitionsabfrage
Es sei ein
reelles
Intervall
mit den Grenzen
. Dann heißt eine
Funktion
eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
von derart gibt, dass
auf jedem offenen Teilintervall
konstant
ist.
Es sei ein
reelles
Intervall
mit den Grenzen
und sei
eine
Treppenfunktion
zur Unterteilung
und den Werten
,
.
Dann heißt
das Treppenintegral von auf
.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion
eine obere Treppenfunktion zu , wenn
für alle
ist. Eine Treppenfunktion
heißt eine untere Treppenfunktion zu , wenn
für alle
ist.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion
von zur Unterteilung
,
,
und den Werten
,
,
heißt das
Treppenintegral
ein oberes Treppenintegral
(oder eine Obersumme)
von auf
.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion
von zur Unterteilung
,
,
und den Werten
,
,
heißt
ein unteres Treppenintegral
(oder eine Untersumme)
von auf
.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine nach unten beschränkte
Funktion. Dann heißt das
Supremum
von sämtlichen
Treppenintegralen
zu
unteren Treppenfunktionen
von das Unterintegral von
.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine nach oben beschränkte
Funktion. Dann heißt das
Infimum
von sämtlichen
Treppenintegralen
zu
oberen Treppenfunktionen
von das Oberintegral von
.
Es sei ein
kompaktes Intervall
und sei
eine
Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn
Ober-
und
Unterintegral
von
existieren und übereinstimmen.
Es sei ein
kompaktes Intervall. Zu einer
Riemann-integrierbaren Funktion
heißt das
Oberintegral
(das nach Definition mit dem
Unterintegral
übereinstimmt)
das bestimmte Integral von über
. Es wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine
Riemann-integrierbare
Funktion und
.
Dann heißt die Funktion
die Integralfunktion zu zum Startpunkt
.
Es sei
offen
und sei
eine Funktion. Eine Funktion
heißt Stammfunktion zu , wenn
auf
differenzierbar
ist und
für alle
gilt.
Zu
Polynomen
,
,
heißt die
Funktion
wobei das
Komplement
der
Nullstellen
von
ist, eine rationale Funktion.
Es sei ein
metrischer Raum, sei
eine Teilmenge und sei
ein
Berührpunkt von
. Es sei
eine
Abbildung
in einen weiteren metrischen Raum . Dann heißt
der
Grenzwert
(oder
Limes)
von
in
, wenn es für jedes
ein
gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes
ist
.
In diesem Fall schreibt man
Es sei ein
metrischer Raum und es sei
eine
Abbildung.
Dann heißt der Grenzwert von
für
, wenn es für jedes
ein
gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes
,
,
ist
.
Es sei
ein
Intervall,
ein
(uneigentlicher) Randpunkt
von
und
.
Es sei eine
stetige Funktion
gegeben. Man sagt, dass das uneigentliche Integral zu für
existiert, wenn der
Grenzwert
existiert. In diesem Fall schreibt man für diesen Grenzwert auch
und nennt dies das uneigentliche Integral von
nach
Es sei
ein
Intervall
mit den beiden
(uneigentlichen) Randpunkten
und
von
. Es sei eine
stetige Funktion
gegeben. Man sagt, dass das (beidseitig) uneigentliche Integral
existiert, wenn für ein
die beiden einseitig
uneigentlichen Integrale
existieren. In diesem Fall setzt man
und nennt dies das uneigentliche Integral zu von
nach
.
Für
,
,
heißt die
Funktion
die Fakultätsfunktion.
Es sei
eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Dann nennt man
die
(gewöhnliche)
Differentialgleichung zu
(oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld
).
Es sei
eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung
heißt eine Funktion
auf einem
(mehrpunktigen)
Intervall
eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Es ist
für alle
.
- Die Funktion
ist differenzierbar.
- Es ist
für alle
.
Es sei
eine Teilmenge und es sei
eine
Funktion. Es sei
vorgegeben. Dann nennt man
das Anfangswertproblem
zur
gewöhnlichen Differentialgleichung
mit der Anfangsbedingung
.
Es sei
eine Teilmenge und es sei
eine
Funktion. Es sei
vorgegeben. Dann nennt man eine
Funktion
auf einem
Intervall
eine Lösung des Anfangswertproblems
wenn eine
Lösung der Differentialgleichung
ist und wenn zusätzlich
gilt.
Eine gewöhnliche Differentialgleichung
heißt ortsunabhängig, wenn die Funktion nicht von
abhängt, wenn also
mit einer Funktion
in der einen Variablen
gilt.
Eine gewöhnliche Differentialgleichung
heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von
abhängt, wenn also
mit einer Funktion
in der einen Variablen
gilt.
Eine Differentialgleichung der Form
mit einer
Funktion
( reelles Intervall)
heißt gewöhnliche homogene lineare eindimensionale Differentialgleichung.
Eine Differentialgleichung der Form
mit zwei auf einem
Intervall
definierten
Funktionen
und
heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.
Eine Differentialgleichung der Form
mit zwei
Funktionen
(dabei sind
und
reelle Intervalle)
und
heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
Es sei ein
reelles
Intervall,
ein
euklidischer Vektorraum
und
eine
Abbildung. Dann heißt in
differenzierbar, wenn der
Limes
existiert. Dieser Limes heißt dann die Ableitung von in
und wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
reelles
Intervall,
ein
euklidischer Vektorraum
und
eine
Abbildung. Dann heißt differenzierbar, wenn
in jedem Punkt
differenzierbar
ist. Die Abbildung
heißt dann die Ableitung von .
Zu einer Punktfolge
nennt man
die Gesamtlänge des Streckenzugs .
Es sei ein
kompaktes Intervall
und
eine Abbildung. Zu einer Unterteilung
nennt man
den zugehörigen Streckenzug.
Es sei ein
kompaktes Intervall
und
eine Abbildung. Dann nennt man
die Kurvenlänge von . Wenn
endlich ist, so heißt die Kurve
rektifizierbar.
Es seien
und
endlichdimensionale normierte Vektorräume,
eine offene Teilmenge, und
eine Abbildung. Weiter sei
ein Punkt und
ein fixierter Vektor. Dann heißt
differenzierbar in
in Richtung
, falls der
Grenzwert
existiert. In diesem Fall heißt dieser Grenzwert die Ableitung von in
in Richtung
. Er wird mit
bezeichnet.
Seien
und
euklidische Vektorräume,
sei
eine
offene Teilmenge,
sei
eine Abbildung und
ein fixierter Vektor. Dann heißt
differenzierbar in Richtung
, falls
in jedem Punkt
in Richtung
differenzierbar
ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
die Richtungsableitung von in Richtung
.
Eine Funktion
die man als eine Summe der Form
mit
schreiben kann, wobei nur endlich viele
sind, heißt polynomiale Funktion.
Es sei
offen und sei eine Abbildung
durch
gegeben. Es sei
ein Punkt. Für fixierte Indizes
und
betrachten wir die Abbildung
derart sei, dass
gilt)
als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen
,
,
fixiert seien. Ist diese Funktion in
differenzierbar,
so heißt
partiell differenzierbar in
bezüglich der Koordinate
. Man bezeichnet diese Ableitung
(welche ein Element in
ist)
mit
und nennt sie die -te partielle Ableitung von
in
.
Die Abbildung heißt partiell differenzierbar im Punkt
, falls für alle
und
die partiellen Ableitungen in
existieren. Die
-te partielle Ableitung von
in
wird mit
bezeichnet.
Es sei
offen
und sei eine
Abbildung
gegeben. Dann heißt partiell differenzierbar, wenn
in jedem Punkt
partiell differenzierbar
ist. In diesem Fall heißt die Abbildung
die -te partielle Ableitung von
.
Es sei
offen
und sei eine
Abbildung
gegeben, die in
partiell differenzierbar
sei. Dann heißt die Matrix
die Jacobi-Matrix zu im Punkt
.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
eine
Abbildung
auf einer offenen Menge
und
Vektoren in
. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von
in Richtung
existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung
existiert und davon die
Richtungsableitung
in Richtung
existiert. Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume
und
eine
Abbildung
auf einer
offenen Menge
.
Man sagt, dass
-mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl
von
Vektoren aus
die
höhere Richtungsableitung
in Richtung existiert und
stetig
ist.
Es seien
und
endlichdimensionale
-
Vektorräume,
eine
offene Menge
und
eine Abbildung. Dann heißt
differenzierbar
(oder total differenzierbar )
im Punkt
,
wenn es eine
-
lineare Abbildung
mit der Eigenschaft
gibt, wobei
eine in
stetige Abbildung
mit
ist und die Gleichung für alle
mit
gilt.
Diese lineare Abbildung heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von
an der Stelle
und wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
Körper
und sei
ein
-
Vektorraum.
Eine
lineare Abbildung
heißt eine Linearform auf .
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum.
Dann heißt der
Homomorphismenraum
der Dualraum zu .
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Eine Abbildung
heißt Bilinearform, wenn für alle
die induzierten Abbildungen
und für alle
die induzierten Abbildungen
-
linear
sind.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Eine
Bilinearform
heißt nicht ausgeartet, wenn für alle
,
,
die induzierten Abbildungen
und für alle
,
,
die induzierten Abbildungen
nicht die Nullabbildung sind.
Zu einer Funktion
wobei ein
metrischer Raum
sei, nennt man zu
die Menge
die Niveaumenge zu zum Wert
.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum,
offen
und
eine in
differenzierbare Funktion.
Dann nennt man den eindeutig bestimmten Vektor
mit
für alle
den Gradienten von
in
. Er wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
offen
und
eine
differenzierbare Funktion.
Dann heißt
ein kritischer Punkt von
(oder ein stationärer Punkt),
wenn
ist. Andernfalls spricht man von einem regulären Punkt.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
eine
offene Menge
und
eine zweimal
stetig differenzierbare Funktion. Zu
heißt die
Abbildung
die Hesse-Form im Punkt
.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
eine
offene Menge
und
eine zweimal
stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine
Basis
,
,
von
gegeben mit den zugehörigen
Richtungsableitungen
,
.
Zu
heißt dann die
Matrix
die Hesse-Matrix zu im Punkt
bezüglich der gegebenen Basis.
Es sei ein
Körper,
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
und
eine
Bilinearform
auf
. Es sei
eine
Basis
von
. Dann heißt die
-
Matrix
die Gramsche Matrix von bezüglich dieser Basis.
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
eine
Bilinearform
auf
. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn
für alle
gilt.
Es sei ein
reeller Vektorraum
mit einer
symmetrischen
Bilinearform
. Diese Bilinearform heißt
- positiv definit, wenn
für alle
,
ist.
- negativ definit, wenn
für alle
,
ist.
- positiv semidefinit, wenn
für alle
ist.
- negativ semidefinit, wenn
für alle
ist.
- indefinit, wenn
weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum
mit einer
symmetrischen
Bilinearform
. Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ
besitzt, wobei
und
ist.
Es sei
eine
offene
Teilmenge,
eine -mal
stetig-differenzierbare Funktion
und
.
Dann heißt
das Taylor-Polynom vom Grad
zu
in
.
Eine
Folge
in einem
metrischen Raum
heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem
,
,
gibt es ein
derart, dass für alle
die Beziehung
gilt.
Ein
metrischer Raum
heißt vollständig, wenn jede
Cauchy-Folge
in
konvergiert.
Es sei
eine
Abbildung
zwischen den
metrischen Räumen
und
. Die Abbildung heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine
reelle Zahl
mit
für alle
gibt.
Es sei
eine
Abbildung
zwischen den
metrischen Räumen
und
. Dann heißt
stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative
reelle Zahl
gibt mit
für alle
.
Es seien
und
endlichdimensionale
reelle Vektorräume
und
und
offene
Teilmengen. Eine
Abbildung
heißt
-Diffeomorphismus,
wenn
bijektiv
und
-mal
stetig differenzierbar
ist, und wenn die
Umkehrabbildung
ebenfalls -mal stetig differenzierbar ist.
Es seien
und
endlichdimensionale
reelle Vektorräume,
sei
offen,
sei
und sei
eine in
differenzierbare Abbildung.
Dann heißt
ein regulärer Punkt von
, wenn
ist. Andernfalls heißt ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.
Zu einer Abbildung
zwischen zwei Mengen
und
heißt zu
die Menge
die Faser von über
.
Es seien
und
endlichdimensionale
reelle Vektorräume,
es sei
offen
und sei
eine
stetig differenzierbare Abbildung.
Es sei
ein Punkt, in dem das
totale Differential
surjektiv
sei, und sei
die
Faser
von
durch
. Dann nennt man
den Tangentialraum an die Faser in
.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles
Intervall
und
eine
offene Menge.
Dann nennt man eine
Abbildung
ein Vektorfeld
(auf ).
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
ein
Vektorfeld
auf . Man sagt, dass das Vektorfeld
einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es eine
reelle Zahl
mit
für alle
und
gibt.
Es sei ein
endlichdimensionaler
reeller Vektorraum,
ein
reelles Intervall,
eine
offene Menge
und
ein
Vektorfeld
auf . Man sagt, dass das Vektorfeld
lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt
eine offene Umgebung
derart gibt, dass das auf eingeschränkte Vektorfeld einer
Lipschitz-Bedingung
genügt.
Es sei ein
euklidischer Vektorraum,
offen
und
eine differenzierbare Funktion. Dann nennt man die Abbildung
das zugehörige Gradientenfeld.
Es sei
ein
offenes Intervall,
offen
und
eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck
eine Differentialgleichung der Ordnung .
Es sei
ein
offenes reelles Intervall.
Eine
Differentialgleichung
der Form
wobei
eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen
sind, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem.
Es sei
ein
offenes reelles Intervall.
Eine
Differentialgleichung
der Form
wobei
eine Matrix ist, deren Einträge allesamt Funktionen
sind und wobei
eine Abbildung ist, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem. Die Abbildung heißt dabei Störabbildung.
Eine Differentialgleichung der Form
wobei
eine
Matrix
mit Einträgen
ist, heißt homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Es sei
ein
offenes Intervall.
Eine
Differentialgleichung
der Form
wobei
eine
Matrix
mit Einträgen
ist und
eine Abbildung, heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten oder inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Es sei ein
Körper
und
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum der Dimension
Dann heißt eine Kette von
Untervektorräumen
eine Fahne in .
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Dann heißt ein
Untervektorraum
-invariant,
wenn
gilt.
Es sei ein
Vektorraum
der
Dimension
und
eine lineare Abbildung. Eine Fahne
heißt
-invariant,
wenn
für alle
ist.
Es sei ein
Körper,
ein endlich-dimensionaler
-
Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung.
Dann heißt trigonalisierbar, wenn
eine
-
invariante Fahne
besitzt.
Es sei
mit
ein
homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine
Basis
des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.