Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 63/latex

\setcounter{section}{63}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass in $M$ die sogenannte \stichwort {Hausdorff} {-}Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten \mathkor {} {x} {und} {y} {} gibt es \definitionsverweis {offene Mengen}{}{} \mathkor {} {U} {und} {V} {} mit
\mathdisp {x \in U \text{ und } y \in V \text{ und } U \cap V = \emptyset} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{} $X$ jeder Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} mit einer \definitionsverweis {abzählbaren Basis}{}{.} Zeige, dass dann auch jeder Unterraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {induzierten Topologie}{}{} eine abzählbare Basis besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} mit einer \definitionsverweis {abzählbaren Basis}{}{.} Zeige, dass es zu jeder Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit \definitionsverweis {offenen Mengen}{}{} $U_i$ eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein \definitionsverweis {Maßraum}{}{.} Zeige, dass die Mengen
\mathdisp {{ \left\{ T \in {\mathcal A } \mid \mu(T) < \infty \right\} }} { , }
einen \definitionsverweis {Mengen-Präring}{}{,} aber im Allgemeinen keine \definitionsverweis {Mengen-Algebra}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein \definitionsverweis {Maßraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda (T) }
{ \defeq} { c \mu(T) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Maß auf $M$ definiert ist.\zusatzfussnote {Dieses Maß nennt man das mit $c$ \stichwort {umskalierte Maß} {}} {.} {} Diskutiere insbesondere die Teilmengen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu(T) }
{ = }{ \infty }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein \definitionsverweis {Messraum}{}{.} Wir nennen ein \definitionsverweis {Maß}{}{} auf $M$ \stichwort {explosiv} {,} wenn es lediglich die Werte \mathkor {} {0} {und} {\infty} {} annimmt.

a) Zeige, dass \zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ T }
{ \in }{ {\mathcal A } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma (T) }
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ falls } T = \emptyset \, , \\ \infty, \text{ falls } T \neq \emptyset \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Maß definiert ist.

b) Es sei $\mu$ ein Maß auf
\mathl{(M, {\mathcal A })}{.} Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda (T) }
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ falls } \mu(T) = 0 \, , \\ \infty, \text{ falls } \mu(T) > 0 \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ebenfalls ein Maß definiert ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} und sei \maabbdisp {f_n} {M} {\R } {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {messbaren Funktionen}{}{.} Zeige, dass
\mathdisp {{ \left\{ x \in M \mid f_n(x) \text{ konvergiert} \right\} }} { }
\definitionsverweis {messbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass es eine \definitionsverweis {abzählbare Familie}{}{} von \definitionsverweis {offenen Bällen}{}{} im $\R^n$ gibt, die eine \definitionsverweis {Basis der Topologie}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_1,T_2 }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zwei \definitionsverweis {disjunkte}{}{} endliche Teilmengen. Zeige, dass es \definitionsverweis {offene Mengen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2 }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_1 }
{ \subseteq }{ U_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_2 }
{ \subseteq }{ U_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1 \cap U_2 }
{ = }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass es auf jedem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{} ein wohldefiniertes Konzept von \stichwort {Borel-Mengen} {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{7}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {wachsenden Funktionen}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(\Q) }
{ \subseteq }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(\R_{\leq 0}) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(\R_{\geq 1}) }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {überabzählbar}{}{} ist.

}
{} {}