Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 63

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass in ${}M$ die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten ${}x$ und ${}y$ gibt es offene Mengen ${}U$ und ${}V$ mit

x\in U{\text{ und }}y\in V{\text{ und }}U\cap V=\emptyset .

Aufgabe *

Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum ${}X$ jeder Punkt ${}x\in X$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass dann auch jeder Unterraum ${}Y\subseteq X$ mit der induzierten Topologie eine abzählbare Basis besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass es zu jeder Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit offenen Mengen ${}U_{i}$ eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Zeige, dass die Mengen

{\left\{T\in {\mathcal {A}}\mid \mu (T)<\infty \right\}},

einen Mengen-Präring, aber im Allgemeinen keine Mengen-Algebra bilden.

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ . Zeige, dass durch

{}\lambda (T):=c\mu (T)\,

ein Maß auf ${}M$ definiert ist.^[1] Diskutiere insbesondere die Teilmengen mit ${}\mu (T)=\infty$ .

Aufgabe

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Wir nennen ein Maß auf ${}M$ explosiv, wenn es lediglich die Werte ${}0$ und ${}\infty$ annimmt.

a) Zeige, dass (für ${}T\in {\mathcal {A}}$ ) durch

{}\gamma (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}T=\emptyset \,,\\\infty ,{\text{ falls }}T\neq \emptyset \,,\end{cases}}\,

ein Maß definiert ist.

b) Es sei ${}\mu$ ein Maß auf ${}(M,{\mathcal {A}})$ . Zeige, dass durch

{}\lambda (T)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}\mu (T)=0\,,\\\infty ,{\text{ falls }}\mu (T)>0\,,\end{cases}}\,

ebenfalls ein Maß definiert ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei

f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R}

eine Folge von messbaren Funktionen. Zeige, dass

{\left\{x\in M\mid f_{n}(x){\text{ konvergiert}}\right\}}

messbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es eine abzählbare Familie von offenen Bällen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ gibt, die eine Basis der Topologie bilden.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Hausdorff-Raum und es seien ${}T_{1},T_{2}\subseteq X$ zwei disjunkte endliche Teilmengen. Zeige, dass es offene Mengen ${}U_{1},U_{2}\subseteq X$ mit ${}T_{1}\subseteq U_{1}$ , ${}T_{2}\subseteq U_{2}$ und mit ${}U_{1}\cap U_{2}=\emptyset$ gibt.