Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 65/latex

\setcounter{section}{65}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Welche \anfuehrung{vertrauten geometrischen Figuren}{} kann man als \zusatzklammer {verallgemeinerte} {} {} \definitionsverweis {Quader}{}{} in
\mathl{\R \times \R}{} oder in
\mathl{\R \times \R^2}{} auffassen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathbed {M} {und}
{N} {}
{} {} {} {} Mengen und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M \times N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T(x) }
{ = }{ { \left\{ y \in N \mid (x,y) \in T \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\{x \} \times T(x)}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathdisp {T \hookrightarrow M \times N \stackrel{p_1}{ \longrightarrow} M} { }
über $x$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A } )}{} ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass das Mengensystem
\mathdisp {N \cap T,\, T \in {\mathcal A }} { , }
eine $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} auf $N$ ist \zusatzklammer {man spricht von der \stichwort {induzierten} {} $\sigma$-Algebra} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathbed {(M, {\mathcal A } )} {und}
{(N, {\mathcal B } )} {}
{} {} {} {} zwei \definitionsverweis {Messräume}{}{,} die nicht leer seien und wobei die einelementigen Teilmengen messbar seien. Alle Teilmengen von
\mathl{M \times N}{} seien mit der durch
\mathl{{\mathcal A } \otimes {\mathcal B }}{} \definitionsverweis {induzierten}{}{} $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} versehen. Es sei
\mathl{S \subseteq M}{.} Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungfuenf{ $S$ ist eine messbare Teilmenge von $M$. }{ Es gibt ein
\mathl{y \in N}{} derart, dass
\mathl{S \times \{y\} \subseteq M \times \{y\}}{} messbar ist. }{ Für alle
\mathl{y \in N}{} ist
\mathl{S \times \{y\} \subseteq M \times \{y\}}{} messbar. }{ Es gibt ein
\mathl{y \in N}{} derart, dass
\mathl{S \times \{y\}}{} messbar in
\mathl{M \times N}{} ist. }{ Für alle
\mathl{y \in N}{} ist
\mathl{S \times \{y\}}{} messbar in
\mathl{M \times N}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{M,N_1,N_2}{} \definitionsverweis {Messräume}{}{} und es seien \maabb {f_1} {M} {N_1 } {} und \maabb {f_2} {M} {N_2 } {} \definitionsverweis {messbare Abbildungen}{}{.} Zeige, dass auch die Abbildung \maabbeledisp {(f_1,f_2)} {M} {N_1 \times N_2 } {x} {(f_1(x), f_2(x)) } {,} messbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es für jedes
\mathl{\epsilon >0}{} eine Familie
\mathbed {\epsilon_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} von positiven reellen Zahlen mit
\mathl{\sum_{n=0}^\infty \epsilon_n \leq \epsilon}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {diskrete topologische Räume}{}{.} Zeige, dass auch der \definitionsverweis {Produktraum}{}{} diskret ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} zwei \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} mit \definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{} und mit den zugehörigen $\sigma$-\definitionsverweis {Algebren}{}{} der \definitionsverweis {Borelmengen}{}{} \mathkor {} {{\mathcal B }(X)} {und} {{\mathcal B }(Y)} {.} Zeige, dass das Mengensystem der Borelmengen auf dem \definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{X \times Y}{} mit dem \definitionsverweis {Produkt}{}{} von \mathkor {} {{\mathcal B }(X)} {und} {{\mathcal B }(Y)} {} übereinstimmt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei ${\mathcal P }$ ein \definitionsverweis {Präring}{}{} auf $\R$, der die Intervalle
\mathbed {[a,b]} {}
{a < b} {}
{} {} {} {,} enthalte, und es sei $\mu$ ein \definitionsverweis {äußeres Maß}{}{} darauf, das auf diesen Intervallen den Wert
\mathl{b-a}{} besitze. Zeige, dass die \definitionsverweis {Fortsetzung dieses äußeren Maßes}{}{} auf allen \definitionsverweis {abzählbaren}{}{} Teilmengen von $\R$ den Wert $0$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Begründe die einzelnen Abschätzungen in der Abschätzungskette im Beweis zu Lemma 65.3.

Gehe dabei folgendermaßen vor. \aufzaehlungvier{Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile

[[/Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).

}{Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort

 {{:Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

ein. }{Es erscheint die Abschätzungskette. Wenn Sie auf eines der Größergleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein. }{Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite(die Sie von der Kursseite auf Wikiversity aus erreichen können) einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort

[[Ihr Benutzername/Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

hinschreiben.

}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien \mathkor {} {(M_1,d_1)} {und} {(M_2,d_2)} {} \definitionsverweis {metrische Räume}{}{.} Zeige, dass auf der \definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{M_1 \times M_2}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d( (x_1,x_2), (y_1,y_2)) }
{ =} { \sqrt{ d_1(x_1,y_1)^2 + d_2(x_2,y_2)^2 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Metrik gegeben ist, und dass die dadurch definierte \definitionsverweis {Topologie}{}{} mit der \definitionsverweis {Produkttopologie}{}{} übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien
\mathl{(M_1, {\mathcal A }_1) , \ldots , (M_n, {\mathcal A }_n)}{} Mengen mit darauf erklärten $\sigma$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Produkt}{}{-}$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mathl{{\mathcal A }_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } {\mathcal A }_n}{} die kleinste $\sigma$-Algebra auf
\mathl{M_1 \times \cdots \times M_n}{} ist, für die alle \definitionsverweis {Projektionen}{}{} \definitionsverweis {messbar}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Urbild}{}{} der \definitionsverweis {Einheitskreisscheibe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E }
{ \subseteq }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} unter den Inklusionsabbildungen \maabbeledisp {\iota_y} {\R} {\R^2 } {x} {(x,y) } {.}

}
{} {}