Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 88/latex

\setcounter{section}{88}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe diverse Kleidungsstücke als zweidimensionale \definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten mit Rand}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Circle_on_sphere_wireframe_10deg_6r.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Circle on sphere wireframe 10deg 6r.svg } {} {Itai} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Zeige, dass sowohl das blaue als auch das rote Oberflächenstück einschließlich der Begrenzungslinie eine \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{} ist. Was ist der Rand? Sind die beiden Mannigfaltigkeiten \definitionsverweis {diffeomorph}{}{?} Gibt es eine einfachere dazu diffeomorphe Mannigfaltigkeit?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche der folgenden Funktionen \maabbdisp {} {\R_+} {\R } {} lassen sich \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} in den \definitionsverweis {Randpunkt}{}{} $0$ fortsetzen. \aufzaehlungsechs{
\mathl{x^3+ \sin^{ 3 } x -e^{-x}}{,} }{
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x } }}{,} }{
\mathl{\sin { \frac{ 1 }{ x } }}{,} }{
\mathl{x \sin { \frac{ 1 }{ x } }}{,} }{
\mathl{{ \frac{ e^{ { \frac{ 1 }{ x } } } }{ x } }}{,} }{
\mathl{x^2 \sin { \frac{ 1 }{ x } }}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{H \subset \R^n}{} ein \definitionsverweis {Halbraum}{}{.} Es sei
\mathl{Q\in H}{} ein Punkt und $Q \in U \subseteq H$, wobei $U$ eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} des $\R^n$ sei. Zeige, dass $Q$ kein Randpunkt von $H$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} \zusatzklammer {ohne Rand} {} {} und $N$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{.} Was kann man über das \definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times N}{} sagen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die abgeschlossene Kreisscheibe
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{} trage die \definitionsverweis {Standardorientierung}{}{} des $\R^2$. Läuft die durch die \definitionsverweis {äußere Normale}{}{} festgelegte Orientierung auf dem Rand \zusatzklammer {also auf dem Einheitskreis} {} {} mit dem oder gegen den Uhrzeigersinn?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Definiere die Begriffe \stichwort {Diffeomorphismus} {,} \stichwort {totales Differential} {} und \stichwort {höhere Ableitungen} {} für \definitionsverweis {Halbräume}{}{} \zusatzklammer {bzw. offene Teilmengen davon} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{.} Unter einem \stichwort {differenzierbaren Halbweg} {} verstehen wir jede \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\gamma} {[-\epsilon, 0]} {M } {} \zusatzklammer {mit \mathlk{\epsilon >0}{}} {} {.} Definiere, wann zwei Halbwege mit
\mathl{\gamma_1(0) = \gamma_2(0) =P \in M}{} \stichwort {tangential äquivalent} {} sind, und zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation gegeben ist. Was kann man über die \definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{} sagen?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Not-star-shaped.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Not-star-shaped.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {PD} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe für den Kreisring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { { \left\{ x \in \R^2 \mid 1 \leq \Vert {x} \Vert \leq 2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} explizit \definitionsverweis {Karten}{}{} an, die zeigen, dass $M$ eine \definitionsverweis {Mannigfaltigkeit mit Rand}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Halbebene}{}{} $\R_{\geq 0} \times \R$ und der \definitionsverweis {Quadrant}{}{}
\mathl{\R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0}}{} \definitionsverweis {homöomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Halbebene}{}{} $\R_{\geq 0} \times \R$ und der \definitionsverweis {Quadrant}{}{}
\mathl{\R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0}}{} nicht \definitionsverweis {diffeomorph}{}{} sind.

}
{(Was ist hierbei der geeignete Diffeomorphiebegriff?)} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mathl{M= B \left( 0,1 \right) \setminus \{ (0,1), (0,-1)\} \subseteq \R^2}{,} also die \definitionsverweis {abgeschlossene Kreisscheibe}{}{,} aus der man zwei Randpunkte herausgenommen hat. Es sei
\mathl{N={]{-1},1[} \times [-1,1]}{} das Produkt eines offenen und eines abgeschlossenen Intervalls. Zeige, dass \mathkor {} {M} {und} {N} {} \definitionsverweis {diffeomorphe}{}{} \definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten mit Rand}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mathl{V_1,V_2 \subseteq \R^n}{} \definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {V_1} {V_2 } {} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{,} der eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} zwischen \mathkor {} {V_1 \cap H} {und} {V_2 \cap H} {} induziert und damit auch zwischen \mathkor {} {V_1 \cap \partial H} {und} {V_2 \cap \partial H} {} \zusatzklammer {$H$ bezeichnet den \definitionsverweis {Halbraum}{}{} und $\partial H$ seinen Rand} {} {.} Zeige, dass die Einschränkung auf den Rand ebenfalls ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Die abgeschlossene Einheitskugel
\mathl{B \left( 0,1 \right)}{} trage die \definitionsverweis {Standardorientierung}{}{} des $\R^3$. Bestimme, ob die beiden Tangentenvektoren \mathkor {} {(2,1,0)} {und} {(3,-1,0)} {} am Nordpol
\mathl{(0,0,1)}{} die durch die \definitionsverweis {äußere Normale}{}{} induzierte Orientierung auf dem Rand \zusatzklammer {also auf der Einheitssphäre} {} {} repräsentieren oder nicht?

}
{} {}