Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/100/Klausur

Aus Wikiversity
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Punkte 1 1 2 6 2 12 3 2 4 4 6 1 4 4 3 3 3 3 4 2 4 5 2 4 85

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme

Aufgabe (1 Punkt)

Bruno liest in der Zeitung: „Im letzen Jahr war bei aller Autounfälle Alkohol mit im Spiel“. Bruno überlegt: „ mit Alkohol, ohne Alkohol. Dann ist es also egal, ob man was trinkt oder nicht. In Zukunft werde ich das auch nicht mehr so streng sehen“. Beurteile diese Überlegung!


Aufgabe * (2 Punkte)

Finde drei Quadratzahlen

derart, dass der Abstand von zu gleich dem Abstand von zu ist.


Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Es sei

eine Abbildung.

a) Zeige, dass es eine Menge gibt und eine surjektive Abbildung

und eine injektive Abbildung

mit

b) Zeige, dass es eine Menge gibt und eine injektive Abbildung

und eine surjektive Abbildung

mit


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper . Beschreibe die Menge

als ein Intervall.


Aufgabe * (12 (2+1+2+3+2+2) Punkte)

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall aus. Das Intervall wird in drei gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das dritte (Regel 1). Das entstehende Intervall teilen wir in fünf gleichlange Teilintervalle ein und davon nehmen wir das vierte (Regel 2). Jetzt wenden wir abwechselnd Regel 1 und Regel 2 an, immer bezogen auf das zuvor konstruierte Intervall. Dabei entsteht eine Folge von Intervallen , ( ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient).

  1. Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird (also von , nachdem einmal die Regel und einmal die Regel 2 angewendet wurde).
  2. Wie kann man den Konstruktionsschritt, der durch die einmalige Hintereinanderausführung von Regel 1 und von Regel 2 gegeben ist, mit einer einzigen Regel ausdrücken?
  3. Bestimme ein Intervall der Form mit , das ganz in enthalten ist.
  4. Erstelle eine Formel, die die untere Intervallgrenze des Intervalls , , ausdrückt.
  5. Es gibt genau eine rationale Zahl , die in jedem Intervall enthalten ist. Bestimme als Bruch.
  6. Gibt es ein Ziffernsystem, in dem die rationale Zahl aus (5) eine Ziffernentwicklung mit Periodenlänge besitzt?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Intervall in einem angeordneten Körper und es seien . Zeige


Aufgabe * (2 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe * (4 Punkte)

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Aufgabe * (4 Punkte)

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Aufgabe * (6 (4+1+1) Punkte)

  1. Zeige die Gleichheit
  2. Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge?
  3. Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt?


Aufgabe * (1 Punkt)

Um eine Bevölkerung gegen ein bestimmtes Virus zu schützen, braucht man eine Herdenimmunität von . Eine Impfung führt zu zur Immunität. Wie viel Prozent der Bevölkerung müssen geimpft werden, um die Herdenimmunität zu erreichen?


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei

eine Funktion, wir betrachten dazu die zusammengesetzte Funktion

also

auf .

  1. Bestimme für die lineare Funktion (mit dem Proportionalitätsfaktor )

    die zugehörige Funktion .

  2. Es sei nun eine beliebige ungerade Funktion. Zeige, dass die Bedingung

    für alle erfüllt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion mit . Zeige, dass durch

eine Funktion

gegeben ist, die die Bedingung

für alle erfüllt.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es seien positive reelle Zahlen und . Zeige mit geeigneten Potenzgesetzen die folgenden Aussagen.

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die ersten vier Glieder des Cauchy-Produkts der beiden Reihen


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

zwei absolut konvergente Potenzreihen in . Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

gegeben ist.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

  1. Lucy Sonnenschein fährt eine Stunde lang Fahrrad und möchte dabei Kilometer zurücklegen. Nach Minuten merkt sie, dass sie bisher erst Kilometer geschafft hat. Wie schnell muss sie konstant in den verbleibenden Minuten fahren, um ihr Ziel zu erreichen?
  2. Eine Fahrradfahrt wird durch eine (stetige) Geschwindigkeitsfunktion beschrieben, die zurückgelegte Strecke zwischen den Zeitpunkten und ist also und die Durchschnittsgeschwindigkeit in diesem Zeitintervall ist . Bestimme die Funktion , die die Änderung der Durchschnittsgeschwindigkeit vom festen Startzeitpunkt zum Zeitpunkt beschreibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Parabelschar mit . Für welches schließt die zugehörige Parabel zusammen mit der -Achse ein Gebiet ein, dessen Flächeninhalt gleich ist?


Aufgabe (2 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

nach unten beschränkt ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Extrema der Funktion

auf dem Intervall .


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass für nullstellenfreie differenzierbare Funktionen

die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu zur Intervallunterteilung in Abhängigkeit von .
  2. Bestimme dasjenige zwischen und , für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu zur Intervallunterteilung maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?