Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/56/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 1 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 10 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleeinundzwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
}{Ein \stichwort {Polynom} {} über einem Körper $K$ in einer Variablen $X$.
}{Das
\stichwort {Maximum} {}
der Funktion
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
wird im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {angenommen} {.}
}{Eine
\stichwort {Treppenfunktion} {}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Eine \stichwort {Linearkombination} {} in einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
}{Die \stichwort {geometrische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das
\stichwort {Folgenkriterium} {}
für die Stetigkeit einer Abbildung
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Die wichtigsten Eigenschaften des natürlichen Logarithmus.}{Die
\stichwort {Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen
\mathkor {} {p} {und} {q} {}
größer ist.
\mathdisp {p= { \frac{ 573 }{ -1234 } } \text{ und } q = { \frac{ -2007 }{ 4322 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Warum gibt es für das Produkt der ersten $n$ natürlichen Zahlen \zusatzklammer {beginnend mit $1$} {} {} ein eigenes Symbol \zusatzklammer {die Fakultät} {} {,} aber nicht für die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Professor Knopfloch muss mal wieder Geschirr abwaschen. Bekanntlich wird die Spülgeschwindigkeit durch die internationale Maßeinheit \anfuehrung{ein Spüli}{} ausgedrückt. Ein Spüli liegt vor, wenn man einen Quadratmeter Geschirroberfläche pro Sekunde spült. Professor Knopflochs Spülgeschwindigkeit beträgt
\mathl{0,005}{} Spülies. Er muss $10$ große Teller mit einem Durchmesser von $30$ Zentimetern, $6$ kleine Teller mit einem Durchmesser von $20$ Zentimetern und $4$ zylinderförmige Becher, die $10$ Zentimeter hoch sind und einen Durchmesser von $6$ Zentimetern besitzen, spülen. Wie lange braucht er für den reinen Abwasch
\zusatzklammer {man ignoriere die Dicke des Geschirrs} {} {?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne
\mathdisp {(-2x^3+3x^2+3x-2)^2} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
folgende Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P+Q)
}
{ \leq} { \max \{ \operatorname{grad} \, (P),\, \operatorname{grad} \, (Q)\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
} {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P \cdot Q)
}
{ =} { \operatorname{grad} \, (P) + \operatorname{grad} \, (Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x
}
{ \geq} {-8
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7 x
}
{ \leq} { 10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-3x+ { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Für die Zahl
\mathl{1000 000 \pi}{} soll eine rationale Approximation gefunden werden, die vom wahren Wert um höchstens ${ \frac{ 1 }{ 1000 } }$-stel abweicht. Wie gut muss eine Approximation für $\pi$ sein, dass man daraus eine solche gewünschte Approximation erhalten kann?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{c \in K_+}{} ein Element in einem angeordneten Körper $K$ und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{c}$ mit dem Startwert
\mathl{x_0 \in K_+}{.} Es sei
\mathl{u \in K_+}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{c \cdot u^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0
}
{ = }{ u x_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{d}$ mit dem Startwert $y_0$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ =} {u x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{n\in \N}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\maabb {f,g,h} {\R} {\R
} {}
Funktionen. Dabei seien
\mathkor {} {g} {und} {h} {}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
im Punkt $a$, es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(a)
}
{ = }{f(a)
}
{ = }{h(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ \leq }{f(x)
}
{ \leq }{h(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass auch $f$ in $a$ stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10 (1+1+1+3+2+2)}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {f} {\R_{\geq 1} } { \R_{\geq 1}
} {,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq} { \begin{cases} { \frac{ 2 }{ x } }\, , \text{ falls } x \leq 2 \, , \\ { \frac{ x }{ 2 } } \, , \text{ falls } x > 2 \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist.
\aufzaehlungsechs{Skizziere den Graphen der Funktion.
}{Zeige, dass $f$ wohldefiniert ist.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
von $f$.
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
der Hintereinanderschaltung $f \circ f$.
}{Zeige, dass $f$ stetig ist.
}{Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Von einem Rechteck sind der Umfang $U$ und die Fläche $A$ bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme den Grenzwert
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ x-1 }{ \ln x } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_0^1 { \frac{ r }{ \sqrt{1-r^2} } } dr} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise die Additionstheoreme für den \definitionsverweis {Sinus}{}{} und den \definitionsverweis {Kosinus}{}{} unter Verwendung von \definitionsverweis {Drehmatrizen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit endlicher
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathl{n= \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }}{.} Es seien $n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in $V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} sind
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$, es seien
\mathl{a,b \in K}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mathl{a
\operatorname{Id}_{ V }}{} die
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
zu $a$. Zeige, dass $b$ genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zu $\varphi$ ist, wenn $ab$ ein Eigenwert zur Hintereinanderschaltung
\mathl{a
\operatorname{Id}_{ V } \circ \varphi}{} ist.
}
{} {}