Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/56/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	3	5	2	3	1	2	1	3	3	3	10	4	2	3	3	3	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
2. Ein Polynom über einem Körper ${}K$ in einer Variablen ${}X$.
3. Das Maximum der Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   wird im Punkt ${}x\in M$ angenommen.

4. Eine Treppenfunktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem beschränkten reellen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

5. Eine Linearkombination in einem ${}K$- Vektorraum.
6. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert ${}\lambda$ zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung

   $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt

   ${}x\in D$.
2. Die wichtigsten Eigenschaften des natürlichen Logarithmus.
3. Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen ${}p$ und ${}q$ größer ist.

$p={\frac {573}{-1234}}{\text{ und }}q={\frac {-2007}{4322}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Warum gibt es für das Produkt der ersten ${}n$ natürlichen Zahlen (beginnend mit ${}1$) ein eigenes Symbol (die Fakultät), aber nicht für die Summe der ersten ${}n$ natürlichen Zahlen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Professor Knopfloch muss mal wieder Geschirr abwaschen. Bekanntlich wird die Spülgeschwindigkeit durch die internationale Maßeinheit „ein Spüli“ ausgedrückt. Ein Spüli liegt vor, wenn man einen Quadratmeter Geschirroberfläche pro Sekunde spült. Professor Knopflochs Spülgeschwindigkeit beträgt ${}0,005$ Spülies. Er muss ${}10$ große Teller mit einem Durchmesser von ${}30$ Zentimetern, ${}6$ kleine Teller mit einem Durchmesser von ${}20$ Zentimetern und ${}4$ zylinderförmige Becher, die ${}10$ Zentimeter hoch sind und einen Durchmesser von ${}6$ Zentimetern besitzen, spülen. Wie lange braucht er für den reinen Abwasch (man ignoriere die Dicke des Geschirrs)?

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne

$(-2x^{3}+3x^{2}+3x-2)^{2}$

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,,$

2. ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

${}3x\geq -8\,$

und

${}7x\leq 10\,$

über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion

${}f(x)=x^{2}-3x+{\frac {4}{3}}\,.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Für die Zahl ${}1000000\pi$ soll eine rationale Approximation gefunden werden, die vom wahren Wert um höchstens ${}{\frac {1}{1000}}$-stel abweicht. Wie gut muss eine Approximation für ${}\pi$ sein, dass man daraus eine solche gewünschte Approximation erhalten kann?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}c\in K_{+}$ ein Element in einem angeordneten Körper ${}K$ und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}\in K_{+}$. Es sei ${}u\in K_{+}$, ${}d=c\cdot u^{2}$, ${}y_{0}=ux_{0}$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {d}}$ mit dem Startwert ${}y_{0}$. Zeige

${}y_{n}=ux_{n}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ und seien ${}f,g,h\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen. Dabei seien ${}g$ und ${}h$ stetig im Punkt ${}a$, es gelte ${}g(a)=f(a)=h(a)$ und es gelte ${}g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$. Zeige, dass auch ${}f$ in ${}a$ stetig ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.

Aufgabe * (10 (1+1+1+3+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 1}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 1},$

die durch

${}f(x):={\begin{cases}{\frac {2}{x}}\,,{\text{ falls }}x\leq 2\,,\\{\frac {x}{2}}\,,{\text{ falls }}x>2\,,\end{cases}}\,$

definiert ist.

1. Skizziere den Graphen der Funktion.
2. Zeige, dass ${}f$ wohldefiniert ist.
3. Bestimme die Fixpunkte von ${}f$.
4. Bestimme die Fixpunkte der Hintereinanderschaltung ${}f\circ f$.
5. Zeige, dass ${}f$ stetig ist.
6. Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun?

Aufgabe * (4 Punkte)

Von einem Rechteck sind der Umfang ${}U$ und die Fläche ${}A$ bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-1}{\ln x}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{1}{\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}dr.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit endlicher Dimension

${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf dem ${}K$- Vektorraum ${}V$, es seien ${}a,b\in K$ mit ${}a\neq 0$ und es sei ${}a\operatorname {Id} _{V}$ die Streckung zu ${}a$. Zeige, dass ${}b$ genau dann ein Eigenwert zu ${}\varphi$ ist, wenn ${}ab$ ein Eigenwert zur Hintereinanderschaltung ${}a\operatorname {Id} _{V}\circ \varphi$ ist.