Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/56/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 2 2 3 5 2 3 1 2 1 3 3 3 10 4 2 3 3 3 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Ein Polynom über einem Körper in einer Variablen .
  3. Das Maximum der Funktion

    wird im Punkt angenommen.

  4. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .

  5. Eine Linearkombination in einem -Vektorraum.
  6. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung

    in einem Punkt

    .
  2. Die wichtigsten Eigenschaften des natürlichen Logarithmus.
  3. Die Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Warum gibt es für das Produkt der ersten natürlichen Zahlen (beginnend mit ) ein eigenes Symbol (die Fakultät), aber nicht für die Summe der ersten natürlichen Zahlen?


Aufgabe * (3 Punkte)

Professor Knopfloch muss mal wieder Geschirr abwaschen. Bekanntlich wird die Spülgeschwindigkeit durch die internationale Maßeinheit „ein Spüli“ ausgedrückt. Ein Spüli liegt vor, wenn man einen Quadratmeter Geschirroberfläche pro Sekunde spült. Professor Knopflochs Spülgeschwindigkeit beträgt Spülies. Er muss große Teller mit einem Durchmesser von Zentimetern, kleine Teller mit einem Durchmesser von Zentimetern und zylinderförmige Becher, die Zentimeter hoch sind und einen Durchmesser von Zentimetern besitzen, spülen. Wie lange braucht er für den reinen Abwasch (man ignoriere die Dicke des Geschirrs)?


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die komplexen Zahlen einen Körper bilden.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. ,
  2. .


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

und

über .


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion


Aufgabe * (1 Punkt)

Für die Zahl soll eine rationale Approximation gefunden werden, die vom wahren Wert um höchstens -stel abweicht. Wie gut muss eine Approximation für sein, dass man daraus eine solche gewünschte Approximation erhalten kann?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Element in einem angeordneten Körper und sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Sei , , und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Zeige

für alle .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei und seien Funktionen. Dabei seien und stetig im Punkt und es gelte für alle . Zeige, dass auch in stetig ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.


Aufgabe * (10 (1+1+1+3+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die durch

definiert ist.

  1. Skizziere den Graphen der Funktion.
  2. Zeige, dass wohldefiniert ist.
  3. Bestimme die Fixpunkte von .
  4. Bestimme die Fixpunkte von der Hintereinanderschaltung .
  5. Zeige, dass stetig ist.
  6. Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun?


Aufgabe * (4 Punkte)

Von einem Rechteck sind der Umfang und die Fläche bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit endlicher Dimension . Es seien Vektoren in gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. bilden eine Basis von .
  2. bilden ein Erzeugendensystem von .
  3. sind linear unabhängig.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung auf dem -Vektorraum , es seien mit und es sei die Streckung zu . Zeige, dass genau dann ein Eigenwert zu ist, wenn ein Eigenwert zur Hintereinanderschaltung ist.