Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/6/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 7 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 7 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Hintereinanderschaltung} {} der Abbildungen \maabbdisp {F} {L} {M } {} und \maabbdisp {G} {M} {N } {.}
}{Eine \stichwort {wachsende} {} reelle Folge.
}{Der \stichwort {Arkuskosinus} {.}
}{Das \stichwort {Taylor-Polynom vom Grad} {} $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} in einem Punkt $a \in \R$.
}{Ein \stichwort {inhomogenes lineares Gleichungssystem} {} mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
}{Die \stichwort {inverse Matrix} {} zu einer
\definitionsverweis {invertierbaren Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} über einem Körper $K$.
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Abbildung
\maabbeledisp {G \circ F} {L} {N
} {x} {G(F(x))
} {,}
heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
\mathkor {} {F} {und} {G} {.}
}{Die
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} heißt wachsend, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ \geq }{ x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Der Arkuskosinus
\maabbeledisp {} {[-1,1]} {[0, \pi]
} {x} { \arccos x
} {,}
ist die
\definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{}
der reellen
\definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{.}
}{Das Polynom
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^{ n } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k }} { }
heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ in $a$.
}{Das System
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & c_m \end{matrix}} { }
heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die
\mathl{a_{ij}}{} und die $c_i$ aus $K$ sind.
}{Die Matrix
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \circ M
}
{ =} { E_{ n }
}
{ =} { M \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt die inverse Matrix von $M$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}{Der \stichwort {Satz von Rolle} {.}}{Der Satz über die Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in K}{} und $n$ Elemente
\mathl{b_1 , \ldots , b_n \in K}{} gegeben. Dann gibt es ein Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad
\mathl{\leq n-1}{} derart, dass
\mathl{P(a_i)= b_i}{} für alle $i$ ist.}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ < }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R
} {}
eine stetige, auf
\mathl{]a,b[}{} differenzierbare Funktion mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ = }{f(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ {]a,b[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(c)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Die reelle Sinusfunktion induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion
\maabbdisp {} {[- \pi/2, \pi/2]} {[-1,1]
} {,}
und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion
\maabbdisp {} {[0,\pi]} {[-1,1]
} {.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Petra fliegt zu ihrer ersten internationalen Konferenz. Als sie auf dem Weg zum Flughafen ihre Wohnung \zusatzklammer {sie wohnt allein} {} {} verlässt und gerade die Wohnungstür zugemacht hat, merkt sie \zusatzklammer {eine der drei Möglichkeiten} {} {} \aufzaehlungdrei{Sie hat ihr Flugticket auf dem Schreibtisch vergessen. }{Sie hat ihre Schlüssel auf dem Schreibtisch vergessen. }{Sie hat ihren Reisepass auf dem Schreibtisch vergessen. } Was ist am schlimmsten?
}
{
(1) und (3) sind jedenfalls nicht schlimm, da Petra die Schlüssel hat und daher direkt die vergessenen Sachen holen kann. Bei (2) hat sie dagegen ein Problem, wenn sie zurückkommt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass der aussagenlogische Ausdruck
\mathdisp {{ \left( r \rightarrow { \left( p \wedge \neg q \right) } \right) } \rightarrow { \left( \neg p \rightarrow { \left( \neg r \vee q \right) } \right) }} { }
\definitionsverweis {allgemeingültig}{}{}
ist
}
{
Wir müssen zeigen, dass für jede Wahrheitsbelegung $\lambda$ der Variablen $r,p,q$ der Wahrheitswert der Gesamtaussage gleich $1$ ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda(p)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda(\neg p)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit ist der Nachsatz und die Gesamtaussage wahr. Es sei also im Folgenden
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda(p)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda(p \wedge \neg q )
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda(r)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Vordersatz falsch und somit die Gesamtaussage wahr. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda(r)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist der Vordersatz wahr und wir müssen zeigen, dass auch der Nachsatz wahr ist. Es ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda(\neg r)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda( \neg r \vee q)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist auch in diesem Fall der Nachsatz und die Gesamtaussage wahr.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+3)}
{
Es seien \maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R } {} Funktionen.
a) Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \cdot g \right) } \circ f
}
{ =} { { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \circ g \right) } \cdot f
}
{ =} { { \left( h \cdot f \right) } \circ { \left( g \cdot f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht gelten muss.
}
{
a) Die Gleichheit von Funktionen bedeutet die Gleichheit für jedes Argument. Für
\mathl{x \in \R}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \left( h \cdot g \right) } \circ f \right) } (x)
}
{ =} { { \left( h \cdot g \right) } { \left( f (x) \right) }
}
{ =} { h(f(x)) \cdot g(f(x))
}
{ =} { { \left( h \circ f \right) } (x) \cdot { \left( g \circ f \right) } (x)
}
{ =} { { \left( { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) } \right) } (x)
}
}
{}
{}{,}
was die Aussage beweist.
b) Wir nehmen für
\mathl{f,g,h}{} jeweils die Identität, also die Abbildung
\mathl{x \mapsto x}{.} Die Verknüpfung der Identität mit sich selbst ist wieder die Identität. Das Produkt der Identität mit sich selbst ist das Quadrieren
\mathl{x \mapsto x^2}{.} Daher ist in diesem Beispiel die Funktion
\mathdisp {{ \left( h \circ g \right) } \cdot f} { }
gleich der Quadrierungsfunktion. Die Funktion
\mathdisp {{ \left( h\cdot f \right) } \circ { \left( g\cdot f \right) }} { }
hingegen ist die Hintereinanderschaltung des Quadrierens mit dem Quadrieren, und das ist die Abbildung
\mathl{x \mapsto { \left( x^2 \right) }^2 =x^4}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise die allgemeine binomische Formel.
}
{
Wir führen Induktion nach $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
steht einerseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a+b)^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^0b^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (a+b)^{n+1}
}
{ =} { (a+b) (a+b)^n
}
{ =} { (a+b) { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) }
}
{ =} { a { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) } + b { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) }
}
{ =} { \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k+1} b^{n - k} + \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k+1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } \binom { n } { k-1 } a^{k} b^{n - k+1} + \sum_{ k=0 } ^{ n+1 } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k+1}
}
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } { \left( \binom { n } { k-1 } + \binom { n } { k } \right) } a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1}
}
{ =} { \sum_{ k=1 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1}
}
{ =} { \sum_{ k= 0 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } a^{k} b^{n+1 - k}
}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Berechne
\mathdisp {2^{ { \frac{ 9 }{ 10 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}
}
{
Wir behaupten die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1{,}8
}
{ \leq} { 2^{ { \frac{ 9 }{ 10 } } }
}
{ \leq} {1{,}9
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Um dies zu zeigen, weisen wir die Gültigkeit der Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1{,}8^{10}
}
{ \leq} { 2^{ 9 }
}
{ =} { 512
}
{ \leq} { 1{,}9^{10}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
nach. Diese gelten wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1{,}8^{10}
}
{ =} { 3{,}24^5
}
{ =} { (3{,}24^2 )^2 \cdot 3{,}24
}
{ =} { 10{,}4976^2 \cdot 3{,}24
}
{ \leq} { 121 \cdot 4
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 484
}
{ <} {512
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1{,}9^{10}
}
{ =} { 3{,}61^5
}
{ =} { (3{,}61^2 )^2 \cdot 3{,}61
}
{ =} { 13{,}0321^2 \cdot 3{,}61
}
{ >} { 169 \cdot 3{,}6
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 608{,}4
}
{ >} {512
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7 (3+1+3)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq} { b^{ { \frac{ 1 }{ n } } }
}
{ =} { \sqrt[n]{b}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mathl{n \in \N_+}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
}{Zeige, dass sämtliche Folgenglieder $\geq 1$ sind.
}{Zeige, dass die Folge gegen $1$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungdrei{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt[n]{b}
}
{ \geq} {\sqrt[n+1]{b}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Aufgrund des strengen Wachstums des Potenzierens können wir die
\mathl{n(n+1)}{-}te Potenz der beiden Zahlen vergleichen. Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \sqrt[n]{b} \right) }^{n(n+1)}
}
{ =} { { \left( { \left( \sqrt[n]{b} \right) }^{n} \right) }^{ n+1}
}
{ =} { b^{ n+1 }
}
{ =} { b^n \cdot b
}
{ \geq} { b^n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( { \left( \sqrt[n+1]{b} \right) }^{n+1} \right) }^{ n}
}
{ =} { { \left( \sqrt[n+1]{b} \right) }^{n(n+1)}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
ist dies richtig.
}{Dies ergibt sich aus dem strengen Wachstum des $n$-ten Wurzelziehens
\zusatzklammer {siehe
[[Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Reelle Zahlen/kte Wurzeln aus reellen Zahlen/Über Zwischenwertsatz/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]} {} {.}
}{Wenn die Folge nicht gegen $1$ konvergieren würde, so würde es, da die Folge streng fallend ist, ein
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt[n]{b}
}
{ \geq} {1 + \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben. Das bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b
}
{ =} { (\sqrt[n]{b})^n
}
{ \geq} {(1 + \epsilon )^n
}
{ \geq} {1 + n \epsilon
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $b$ eine feste Zahl ist und $n$ beliebig groß wird, widerspricht das dem Archimedesprinzip in der Form
[[Angeordneter Körper/Archimedisch/Formulierung mit zwei Elementen/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Angeordneter Körper/Archimedisch/Formulierung mit zwei Elementen/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]].
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine stetige Funktion und
\maabbdisp {g} {\N} {\Q
} {}
eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge
\mathl{f(g(n)),\, n \in \N}{,} konvergiert. Zeige, dass $f$ konstant ist.
}
{
Nehmen wir an, dass $f$ stetig, aber nicht konstant ist. Dann gibt es zwei Punkte $x, x' \in \R$ mit $f(x) \neq f(x')$. Es sei $a= \betrag { f(x)-f(x') } > 0$ der Betrag der Differenz der Funktionswerte. Wir setzen $\epsilon = a/5$. Wegen der Stetigkeit gibt es ein $\delta>0$ und ein $\delta' >0$ derart, dass $f([x- \delta,x + \delta]) \subseteq [ f(x) - \epsilon, f(x) +\epsilon]$ und $f([x'- \delta',x' + \delta']) \subseteq [ f(x') - \epsilon, f(x') +\epsilon]$ ist. Da es in der $\delta$-Umgebung von $x$ und der $\delta'$-Umgebung von $x'$ unendlich viele rationale Zahlen gibt, gibt es auch unendlich viele Indizes der Folge mit $f(g(n)) \in [ f(x) - \epsilon, f(x) +\epsilon]$ und unendlich viele Indizes mit $f(g(n)) \in [ f(x') - \epsilon, f(x') +\epsilon]$.
Es sei $y$ der Grenzwert der Folge $f(g(n))$. Aufgrund der Konvergenz der Folge gibt es ein $n_0$ derart, dass für alle $n \geq n_0$ alle Folgenglieder $f(g(n))$ in der $\epsilon$-Umgebung von $y$ liegen. Diese Umgebung ist aber zu mindestens einer der $\epsilon$-Umgebungen von $f(x)$ oder $f(x')$ disjunkt, so dass ein Widerspruch vorliegt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
}
{
Wir betrachten die Hilfsfunktion
\maabbeledisp {g} {[a,b]} {\R
} {x} {g(x) \defeq f(x)- { \frac{ f(b) -f(a) }{ b-a } } (x-a)
} {.}
Diese Funktion ist ebenfalls
\definitionsverweis {stetig}{}{}
und in
\mathl{]a,b[}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(a)
}
{ = }{f(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(b)
}
{ =} {f(b) -(f(b)-f(a))
}
{ =} {f(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher erfüllt $g$ die Voraussetzungen von
Satz 15.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
und somit gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ {]a,b[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g'(c)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(c)
}
{ =} { { \frac{ f(b) -f(a) }{ b-a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = { \frac{ e^x }{ 1+e^x } } } {.} \aufzaehlungvier{Bestimme die erste Ableitung von $f$. }{Bestimme die zweite Ableitung von $f$. }{Bestimme das Monotonieverhalten von $f$. }{Ist $f$ injektiv? }
}
{
\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { { \frac{ e^x(1+e^x) - e^x e^x }{ (1+e^x)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ e^x }{ (1+e^x)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{\prime \prime} (x)
}
{ =} { { \left( { \frac{ e^x }{ (1+e^x)^2 } } \right) }'
}
{ =} { { \frac{ e^x(1+e^x)^2- 2e^x(1+e^x) e^x }{ (1+e^x)^4 } }
}
{ =} { { \frac{ e^x(1+e^x) - 2e^x e^x }{ (1+e^x)^3 } }
}
{ =} { { \frac{ e^x - e^{2x} }{ (1+e^x)^3 } }
}
}
{}
{}{.}
}{Die erste Ableitung ist stets positiv, daher ist die Funktion streng monoton wachsend.
}{Als streng wachsende Funktion ist die Funktion auch injektiv.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
vom Grad $\leq 2$ zur Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ \sin \left( x^2 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Nullpunkt.
}
{
Die relevanten Ableitungen sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { 2 x \cos \left( x^2 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime}(x)
}
{ =} { 2 \cos \left( x^2 \right) - 4x^2 \sin \left( x^2 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} (0)
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das Taylor-Polynom zu dieser Funktion im Nullpunkt ist daher $x^2$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Der Graph des quadratischen Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-x-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die $x$-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.
}
{
Die Nullstellen des Polynoms
\mathl{x^2-x-3}{} sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1,x_2
}
{ =} { { \frac{ 1 \pm \sqrt{ 1 +12} }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 \pm \sqrt{ 13} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Das bestimmte Integral zwischen diesen Grenzen ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \int_{ { \frac{ 1 -\sqrt{ 13} }{ 2 } } }^{ \frac{ 1 + \sqrt{ 13} }{ 2 } } x^2-x-3 dx
}
{ =} { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x^3 - { \frac{ 1 }{ 2 } }x^2-3x \right) | _{ { \frac{ 1 - \sqrt{ 13} }{ 2 } } } ^{ { \frac{ 1 + \sqrt{ 13} }{ 2 } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot { \left( \left( \frac{ 1 + \sqrt{ 13} }{ 2 } \right)^3 - \left( \frac{ 1 - \sqrt{ 13} }{ 2 } \right)^3 \right) } - { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \left( \left( \frac{ 1 + \sqrt{ 13} }{ 2 } \right)^2 - \left( \frac{ 1 - \sqrt{ 13} }{ 2 } \right)^2 \right) } -3 \cdot { \left( { \frac{ 1 + \sqrt{ 13} }{ 2 } }- { \frac{ 1 - \sqrt{ 13} }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 6 \sqrt{13} + 26 \sqrt{ 13} }{ 8 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot \sqrt{ 13} -3 \sqrt{ 13}
}
{ =} { { \frac{ 32 \sqrt{13} - 12 \sqrt{13} - 72 \sqrt{13} }{ 24 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { - { \frac{ 52 \sqrt{13} }{ 24 } }
}
{ =} { - { \frac{ 13 \sqrt{13} }{ 6 } }
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Der Flächeninhalt ist also
\mathdisp {{ \frac{ 13 \sqrt{13} }{ 6 } }} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Berechne über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-{ \mathrm i} & -1-3 { \mathrm i} & -1 \\ { \mathrm i} & 0 & 4-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} \\1- { \mathrm i} \\ 2+5 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{
Man multipliziert die erste Zeile mit der Spalte rechts und erhält
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (2- { \mathrm i} )(1+ { \mathrm i} ) + (-1-3 { \mathrm i} )(1- { \mathrm i} ) - (2+5 { \mathrm i} )
}
{ =} { 2+2 { \mathrm i} - { \mathrm i} +1-1+ { \mathrm i} -3 { \mathrm i} -3-2-5 { \mathrm i}
}
{ =} { -3 -6 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die zweite Zeile multipliziert mit der Spalte rechts ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathrm i} (1+ { \mathrm i} ) + (4-2 { \mathrm i} )(2+5 { \mathrm i} )
}
{ =} { { \mathrm i} -1 +8+20 { \mathrm i} -4 { \mathrm i} +10
}
{ =} { 17+ 17 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Ergebnis ist also der Spaltenvektor
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3-6 { \mathrm i} \\17+17 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $U,V,W$
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es seien
\mathdisp {\varphi \colon U\rightarrow V \text{ und } \psi \colon V\rightarrow W} { }
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbdisp {\psi \circ \varphi} { U} {W
} {} eine lineare Abbildung ist.
}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u_1, u_2
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ( \psi \circ \varphi) (u_1+u_2)
}
{ =} { \psi ( \varphi (u_1+u_2) )
}
{ =} { \psi ( \varphi (u_1)+ \varphi( u_2) )
}
{ =} { \psi ( \varphi (u_1))+ \psi( \varphi( u_2) )
}
{ =} { ( \psi \circ \varphi) (u_1) + ( \psi \circ \varphi) (u_2)
}
}
{}
{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ( \psi \circ \varphi) ( su )
}
{ =} { \psi ( \varphi (su) )
}
{ =} { \psi ( s \varphi (u) )
}
{ =} { s \psi ( \varphi (u) )
}
{ =} { s ( \psi \circ \varphi) (u )
}
}
{}
{}{,}
was insgesamt die Linearität der Hintereinanderschaltung bedeutet.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7 (3+4)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Matrix über einem Körper $K$.
a) Zeige, dass es eine zu $M$ \definitionsverweis {ähnliche Matrix}{}{} gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich $0$ ist.
b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu $M$ ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich $0$ sind.
}
{
a) Es sei
\mathbed {v \in K^2} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Wenn $v$ ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zu $M$ zum Eigenwert $\lambda$ ist, so ergänzen wir $v$ durch einen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ K^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einer Basis. Bezüglich dieser Basis wird die durch $M$ gegebene lineare Abbildung durch eine zu $M$ ähnliche Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda & r \\ 0 & s \end{pmatrix}} { }
beschrieben, es gibt also darin mindestens eine $0$. Wenn hingegen $v$ kein Eigenvektor ist, so sind
\mathkor {} {v} {und} {w \defeq \varphi(v)} {}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
und bilden eine Basis des $K^2$. Bezüglich dieser Basis wird die Abbildung durch eine Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & r \\ 1 & s \end{pmatrix}} { }
beschrieben.
b) Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$ und behaupten, dass die dadurch gegebene lineare Abbildung die Eigenschaft hat, dass in jeder beschreibenden Matrix höchstens eine $0$ vorkommt. Es sei $N$ eine beschreibende Matrix. Jede beschreibende Matrix besitzt die gleiche
\definitionsverweis {Spur}{}{,}
die gleiche
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
und das gleiche
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
wie $M$. Da die Determinante von $M$ gleich $1$ ist, können weder in einer Zeile noch in einer Spalte von $N$ zweimal eine $0$ stehen. In der Hauptdiagonalen können nicht zwei Nullen stehen, da dann die Spur $0$ sein müsste, diese ist aber $2$. Wenn in der Nebendiagonalen zwei Nullen stünden, so wäre $N$ eine Diagonalmatrix und $M$ wäre diagonalisierbar. Dies ist aber nach
[[Matrix/2x2/Scherungsmatrizen/Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit/Beispiel|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Matrix/2x2/Scherungsmatrizen/Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit/Beispiel/Beispielreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
nicht der Fall.
}