Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/8/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 9 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {injektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}
}{Ein \stichwort {Körper} {.}
}{Der \stichwort {Tangens hyperbolicus} {.}
}{Die Zahl $\pi$ \zusatzklammer {gefragt ist nach der analytischen Definition} {} {.}
}{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen den $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Der \stichwort {Eigenraum} {} zu $\lambda \in K$ und einem \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Abbildung
\maabbdisp {f} {L} {M
} {}
ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente
\mathl{x,y \in L}{} auch
\mathl{f(x)}{} und
\mathl{f(y)}{} verschieden sind.
}{Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei
\definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{}
\zusatzklammer {genannt Addition und Multiplikation} {} {}
\mathdisp {+: K \times K \longrightarrow K \text{ und } \cdot: K \times K \longrightarrow K} { }
und zwei verschiedene Elemente
\mathl{0,1 \in K}{} gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
\aufzaehlungdrei{Axiome der Addition
\aufzaehlungvier{Assoziativgesetz: Für alle
\mathl{a,b,c \in K}{} gilt:
\mathl{(a + b) + c = a + (b + c)}{.}
}{Kommutativgesetz: Für alle
\mathl{a,b \in K}{} gilt
\mathl{a+b=b+a}{.}
}{$0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle
\mathl{a \in K}{} ist
\mathl{a+0=a}{.}
}{Existenz des Negativen: Zu jedem
\mathl{a \in K}{} gibt es ein Element
\mathl{b \in K}{} mit
\mathl{a+b=0}{.}
}
}{Axiome der Multiplikation
\aufzaehlungvier{Assoziativgesetz: Für alle
\mathl{a,b,c \in K}{} gilt:
\mathl{(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)}{.}
}{Kommutativgesetz: Für alle
\mathl{a,b \in K}{} gilt
\mathl{a \cdot b=b \cdot a}{.}
}{$1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle
\mathl{a \in K}{} ist
\mathl{a \cdot 1=a}{.}
}{Existenz des Inversen: Zu jedem
\mathl{a \in K}{} mit
\mathl{a \neq 0}{} gibt es ein Element
\mathl{c \in K}{} mit
\mathl{a \cdot c=1}{.}
}
}{Distributivgesetz:
Für alle
\mathl{a,b,c \in K}{} gilt
\mathl{a \cdot (b+c)=(a \cdot b) + (a \cdot c)}{.}
}
}{Die durch
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} { \tanh x = { \frac{ \sinh x }{ \cosh x } } = { \frac{ e^x - e^{-x} }{ e^x + e^{-x } }}
} {,}
definierte
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
heißt Tangens hyperbolicus.
}{Es sei $s$ die
eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {reelle}{}{}
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{}
der
\definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{[0,2]}{.} Die Kreiszahl $\pi$ ist definiert durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ \defeq} { 2s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {
\mathl{\varphi(u+v)= \varphi(u) + \varphi(v)}{} für alle
\mathl{u,v \in V}{.}
} {
\mathl{\varphi(s v)=s \varphi(v)}{} für alle
\mathkor {} {s \in K} {und} {v \in V} {.}
}
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ \defeq} { { \left\{ v \in V \mid \varphi(v) = \lambda v \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Eigenraum von $\varphi$ zum Wert $\lambda$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Quetschkriterium} {} für reelle Folgen.}{Die \stichwort {Regel von l'Hospital} {.}}{Der \stichwort {Determinantenmultiplikationssatz} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
reelle Folgen. Es gelte
\mathdisp {x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N} { }
und
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen diesen Grenzwert $a$.}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein offenes Intervall und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Es seien
\maabbdisp {f,g} {I} {\R
} {}
stetige Funktionen,
die auf
\mathl{I \setminus \{ a \}}{}
differenzierbar seien mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f( a )
}
{ = }{ g( a )
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g'(x)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ \defeq} { \operatorname{lim}_{ x \in I \setminus \{ a \} , \, x \rightarrow a } \, \frac{f'(x)}{g'(x)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
existiert.
Dann existiert auch der Grenzwert
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \in I \setminus \{ a \} , \, x \rightarrow a } \, \frac{f(x)}{g(x)}} { , }
und sein Wert ist ebenfalls $w$.}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.} Dann gilt für Matrizen
\mathl{A,B \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( A \circ B \right)
}
{ =} { \det A \cdot \det B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt. \wahrheitstabellezweieins{ } {\tabellenzeiledrei {$ p $} {$ q $} {$? $} } {\tabellenzeiledrei {w} {w} {w} } {\tabellenzeiledrei {w} {f} {w} } {\tabellenzeiledrei {f} {w} {f} } {\tabellenzeiledrei {f} {f} {f} }
}
{
$p$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Ist die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\N_+ \times \N_+} { \N_+ \times \N_+\times \N_+ } {(a,b)} {(a+b,ab,a^b) } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} oder nicht?
}
{
Die Abbildung ist nicht injektiv, da wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^4
}
{ =} {16
}
{ =} { 4^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die beiden Paare
\mathkor {} {(2,4)} {und} {(4,2)} {}
unter $\varphi$ auf das gleiche Element abgebildet werden.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise die allgemeine binomische Formel.
}
{
Wir führen Induktion nach $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
steht einerseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a+b)^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^0b^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (a+b)^{n+1}
}
{ =} { (a+b) (a+b)^n
}
{ =} { (a+b) { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) }
}
{ =} { a { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) } + b { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) }
}
{ =} { \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k+1} b^{n - k} + \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k+1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } \binom { n } { k-1 } a^{k} b^{n - k+1} + \sum_{ k=0 } ^{ n+1 } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k+1}
}
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } { \left( \binom { n } { k-1 } + \binom { n } { k } \right) } a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1}
}
{ =} { \sum_{ k=1 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1}
}
{ =} { \sum_{ k= 0 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } a^{k} b^{n+1 - k}
}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 +(x+1)^2 }
{ \geq} { (x+2)^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Wir rechnen die beiden Seiten aus, die zu zeigende Abschätzung bedeutet dann
\mathdisp {2x^2+2x+1 \geq x^2+4x+4} { . }
In einem angeordneten Körper erhalten sich bei beidseitiger Addition die Abschätzungen, so dass die Abschätzung äquivalent zu
\mathdisp {x^2-2x-3 \geq 0} { }
ist. Wir schreiben die linke Seite als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2-2x-3 }
{ =} { x^2-2x+1-1-3 }
{ =} {(x-1)^2-4 }
{ } { }
{ } { }
}
{}{}{.}
Bei $x \geq 3$ ist $x-1 \geq 2$ und daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x-1)^2 }
{ \geq} {2(x-1)}
{ } { }
{ \geq} {2^2 }
{ =} {4 }
}
{}{}{,}
also gilt für $x \geq 3$ die Abschätzung $(x-1)^2-4 \geq 0$ und damit die ursprüngliche Abschätzung.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Im Wald lebt ein Riese, der $8$ Meter und $37$ cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von $3$ cm haben und mit dem Kopf insgesamt $4$ cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind $1,23$ Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander \zusatzklammer {auf den Schultern} {} {} stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?
}
{
Die Schulterhöhe des Riesen befindet sich
\zusatzklammer {alle Angaben in Meter} {} {}
auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{8{,}37- 1{,}23
}
{ =} { 7{,}14
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Höhe. Mit dem einen Zwerg darauf sind das
\mathl{7{,}18}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{238 \cdot 0{,}03 +0{,}04
}
{ =} { 7{,}14 +0{,}04
}
{ =} { 7{,}18
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher braucht man
\mathl{239}{} Zwerge.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{10} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{6}} { . }
}
{
Wir fragen uns, ob
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{10}
}
{ >} { \sqrt{5} + \sqrt{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3+10 + 2 \sqrt{30}
}
{ =} { { \left( \sqrt{3} + \sqrt{10} \right) }^2
}
{ >} { { \left( \sqrt{5} + \sqrt{6} \right) }^2
}
{ =} { 5+6 + 2 \sqrt{30}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist durch Subtraktion mit $11$ äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 +2 \sqrt{30}
}
{ >} { 2 \sqrt{30}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
was stimmt. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} + \sqrt{10}
}
{ >} { \sqrt{ 5} + \sqrt{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Führe in $\Q[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=6X^3+X+1} {und} {T=3X^2+2X-4} {} durch.
}
{
Es ist insgesamt
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{6 X^3 +X + 1
}
{ =} { { \left( 3X^2 +2 X-4 \right) } { \left( 2X - { \frac{ 4 }{ 3 } } \right) } + { \frac{ 35 }{ 3 } } X - { \frac{ 13 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Berechne die Summe
\mathdisp {\sum_{n= 3}^ \infty { \left( { \frac{ 2 }{ 5 } } \right) }^n} { . }
}
{
Mit der Formel für die geometrische Reihe ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 0}^ \infty { \left( { \frac{ 2 }{ 5 } } \right) }^n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 1- { \frac{ 2 }{ 5 } } } }
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 5-2 } }
}
{ =} {{ \frac{ 5 }{ 3 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 0}^2 { \left( { \frac{ 2 }{ 5 } } \right) }^n
}
{ =} {1 + { \frac{ 2 }{ 5 } } + { \left( { \frac{ 2 }{ 5 } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ 25+10+4 }{ 25 } }
}
{ =} { { \frac{ 39 }{ 25 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n = 3}^ \infty { \left( { \frac{ 2 }{ 5 } } \right) }^n
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 3 } } - { \frac{ 39 }{ 25 } }
}
{ =} {{ \frac{ 125- 117 }{ 75 } }
}
{ =} {{ \frac{ 8 }{ 75 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme direkt
\zusatzklammer {ohne Verwendung von Ableitungsregeln} {} {}
die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x) = x^3+2x^2-5x+3 } {,}
in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Differenzenquotient}{}{}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \frac{f(a+h) -f(a)}{h}
}
{ =} { \frac{ (a+h)^3+2(a+h)^2-5(a+h)+3 - (a^3+2a^2-5a+3 ) }{h}
}
{ =} { \frac{ a^3+3a^2h+3ah^2+h^3+2a^2+4ah+2h^2-5a-5h+3 - a^3-2a^2+5a-3 }{h}
}
{ =} { \frac{3a^2h+3ah^2+h^3 +4ah+2h^2-5h }{h}
}
{ =} { 3a^2+3ah+h^2 +4a+2h-5
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 3a^2+4a-5+3ah+h^2 +2h
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Die Ableitung ist der Limes von diesem Ausdruck für $h$ gegen $0$, und dieser ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{lim}_{ h \rightarrow 0 } \, ( 3a^2+4a-5+3ah+h^2 +2h )
}
{ =} { 3a^2+4a-5 + \operatorname{lim}_{ h \rightarrow 0 } \, h (3a+h +2 )
}
{ =} { 3a^2+4a-5
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die Ableitung ist also $3a^2+4a-5$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme den folgenden
\definitionsverweis {Funktionslimes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ \sin \left( x-1 \right) }{ \ln x } }} { . }
}
{
Mit der Regel von Hospital ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ \sin \left( x-1 \right) }{ \ln x } }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ \cos \left( x-1 \right) }{ { \frac{ 1 }{ x } } } }
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, x \cos \left( x-1 \right)
}
{ =} { 1 \cdot \cos \left( 0 \right)
}
{ =} { 1
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Taylorentwicklung}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x^2-4x+5 }{ x-6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bis zum Grad $\leq 2$.
}
{
Die ersten beiden Ableitungen von $f$ sind
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f'(x)
}
{ =} { { \frac{ (2x-4)(x-6) - (x^2-4x+5) }{ (x-6)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ x^2-12x+19 }{ (x-6)^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{\prime \prime}(x)
}
{ =} { \left( \frac{ x^2-12x+19 }{ (x-6)^2 } \right)'
}
{ =} { { \frac{ (2x-12)( x-6)^2 -2 (x^2-12x+19) (x-6) }{ (x-6)^4 } }
}
{ =} { 2 { \frac{ ( x-6)^2 - (x^2-12x+19) }{ (x-6)^3 } }
}
{ =} { 2 { \frac{ 17 }{ (x-6)^3 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 34 }{ (x-6)^3 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(-1)
}
{ =} { { \frac{ 1+4+5 }{ -7 } }
}
{ =} { - { \frac{ 10 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(-1)
}
{ =} { { \frac{ 1 + 12 +19 }{ (-7)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 32 }{ 49 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} (-1)
}
{ =} { { \frac{ 34 }{ (-7)^3 } }
}
{ =} { - { \frac{ 34 }{ 343 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist die Taylorentwicklung in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bis zum Grad $2$ gleich
\mathdisp {- { \frac{ 10 }{ 7 } } + { \frac{ 32 }{ 49 } } (x+1)- { \frac{ 17 }{ 343 } } (x+1)^2} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{9 (1+1+2+5)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-3x+2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} { 2x+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Bestimme die Nullstellen von $f$.
}{Bestimme das globale Minimum von $f$.
}{Finde mit einer Genauigkeit von ${ \frac{ 1 }{ 8 } }$ ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{[0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Graphen zu $f$ und zu $g$ begrenzen eine endliche Fläche. Skizziere die Situation und berechne den Flächeninhalt der eingegrenzten Fläche.
}
}
{
\aufzaehlungvier{Es sind
\mathkor {} {1} {und} {2} {}
die Nullstellen von $f$.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} {2x-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der einzigen Nullstelle bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dort liegt das globale isolierte Minimum mit dem Wert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right)
}
{ =} {{ \frac{ 9 }{ 4 } } -3 \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right) +2
}
{ =} { -{ \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ =} {2
}
{ >} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ =} {0
}
{ <} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
deshalb muss es nach dem Zwischenwertsatz eine Stelle geben, wo $f$ den Wert $1$ annimmt. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right)
}
{ =} { \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right)^2 -3 \cdot { \frac{ 1 }{ 2 } } +2
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ <} {1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deshalb liegt die gesuchte Stelle in
\mathl{[0, { \frac{ 1 }{ 2 } } ]}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \left( \frac{ 1 }{ 4 } \right)
}
{ =} { \left( \frac{ 1 }{ 4 } \right)^2 -3 \cdot { \frac{ 1 }{ 4 } } +2
}
{ =} { { \frac{ 21 }{ 16 } }
}
{ >} {1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deshalb liegt die gesuchte Stelle in
\mathl{[ { \frac{ 1 }{ 4 } }, { \frac{ 1 }{ 2 } } ]}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \left( \frac{ 3 }{ 8 } \right)
}
{ =} { \left( \frac{ 3 }{ 8 } \right)^2 -3 \cdot { \frac{ 3 }{ 8 } } +2
}
{ =} { { \frac{ 65 }{ 64 } }
}
{ >} {1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deshalb liegt die gesuchte Stelle in
\mathl{[ { \frac{ 3 }{ 8 } }, { \frac{ 1 }{ 2 } } ]}{.}
}{Die Gleichsetzung der beiden Funktionen führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 -5x+1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1,x_2
}
{ =} { { \frac{ 5 \pm \sqrt{25-4} }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 5 \pm \sqrt{21} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für die $x$-Koordinate der beiden Schnittpunkte führt. Im Folgenden sei $x_1$ der kleinere Wert. Der in Frage stehende Flächeninhalt ergibt sich, indem man von dem Flächeninhalt des durch $g$, der $x$-Achse und die vertikalen Achsen durch
\mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {}
begrenzten Vierecks $V$ die Flächeninhalte unterhalb von $f$ zwischen $x_1$ und $1$ und zwischen
\mathkor {} {2} {und} {x_2} {}
abzieht und den Flächeninhalt der Fläche oberhalb von $f$ zwischen
\mathkor {} {1} {und} {2} {}
dazuaddiert. Der Flächeninhalt des Vierecks ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x_2-x_1) { \frac{ g(x_1)+g(x_2) }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 5+ \sqrt{21} -5 + \sqrt{21} }{ 2 } } \cdot { \frac{ 12 }{ 2 } }
}
{ =} { 6 \sqrt{21}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine Stammfunktion zu $f$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }x^3 - { \frac{ 3 }{ 2 } } x^2 +2x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
die relevanten Werte sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(1)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } - { \frac{ 3 }{ 2 } } +2
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(2)
}
{ =} { { \frac{ 8 }{ 3 } } - 6 +4
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{F(x_1)
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 5 - \sqrt{21} }{ 2 } \right)^3 - { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 5 - \sqrt{21} }{ 2 } \right)^2+ 2 \left( \frac{ 5 - \sqrt{21} }{ 2 } \right)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 125 - 75 \sqrt{21} + 15 \cdot 21 -21 \sqrt{21} }{ 8 } \right) - { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 25 - 10 \sqrt{21} + 21 }{ 4 } \right)+ 5 - \sqrt{21}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 440 - 96 \sqrt{21} }{ 8 } \right) - { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 46 - 10 \sqrt{21} }{ 4 } \right)+ 5 - \sqrt{21}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }{ \left( 55 - 12 \sqrt{21} \right) } - 3 \left( \frac{ 23 - 5 \sqrt{21} }{ 4 } \right)+ 5 - \sqrt{21}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 55 }{ 3 } } - { \frac{ 69 }{ 4 } }+ 5 + { \left( - 4 + { \frac{ 15 }{ 4 } } -1 \right) } \sqrt{21}
}
{ =} { { \frac{ 73 }{ 12 } } - { \frac{ 5 }{ 4 } } \sqrt{21}
}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{F(x_2)
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 5 + \sqrt{21} }{ 2 } \right)^3 - { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 5+ \sqrt{21} }{ 2 } \right)^2+ 2 \left( \frac{ 5 + \sqrt{21} }{ 2 } \right)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 125 + 75 \sqrt{21} + 15 \cdot 21 +21 \sqrt{21} }{ 8 } \right)- { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 25+ 10 \sqrt{21} + 21 }{ 4 } \right)+ 5 + \sqrt{21}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 440+ 96 \sqrt{21} }{ 8 } \right) - { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 46 + 10 \sqrt{21} }{ 4 } \right)+ 5 + \sqrt{21}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }{ \left( 55 + 12 \sqrt{21} \right) } - 3 \left( \frac{ 23+ 5 \sqrt{21} }{ 4 } \right)+ 5 + \sqrt{21}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 55 }{ 3 } } - { \frac{ 69 }{ 4 } }+ 5 + { \left( 4 - { \frac{ 15 }{ 4 } } +1 \right) } \sqrt{21}
}
{ =} { { \frac{ 73 }{ 12 } }+ { \frac{ 5 }{ 4 } } \sqrt{21}
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Der gesuchte Flächeninhalt ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{A
}
{ =} { 6 \sqrt{21} - (F(1)-F(x_1)) + \betrag { F(2)-F(1) } -(F(x_2)-F(2))
}
{ =} { 6 \sqrt{21} - F(1)+F(x_1) + F(1)-F(2) -F(x_2) +F(2)
}
{ =} { 6 \sqrt{21} +F(x_1) -F(x_2)
}
{ =} { 6 \sqrt{21} +{ \frac{ 73 }{ 12 } }- { \frac{ 5 }{ 4 } } \sqrt{21} -{ \frac{ 73 }{ 12 } }- { \frac{ 5 }{ 4 } } \sqrt{21}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 7 }{ 2 } } \sqrt{21}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Zeige
\zusatzklammer {ohne Stammfunktionen zu verwenden} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 e^x dx
}
{ =} { e-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Wir betrachten die äquidistante Unterteilung
\mathbed {{ \frac{ i }{ n } }} {}
{i = 0 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {,}
und die untere Treppenfunktion $t$, die durch
\mathl{t(x)=e^{ i/n}}{} auf dem
\mathl{i+1}{-}ten Teilintervall festgelegt ist. Das zugehörige Treppenintegral ist
\zusatzklammer {unter Verwendung der endlichen geometrischen Reihe} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ 1 }{ n } } { \left( 1 + e^{1/n} + e^{2/n} + \cdots + e^{(n-1)/n } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } { \left( 1 + e^{1/n} + { \left( e^{1/n} \right) }^2 + \cdots + { \left( e^{1/n } \right) }^{n-1} \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } \cdot { \frac{ 1- { \left( e^{1/n} \right) }^n }{ 1- e^{1/n } }}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } } \cdot { \frac{ 1- e }{ 1- e^{1/n } }}
}
{ =} { { \left( 1- e \right) } \cdot { \frac{ { \frac{ 1 }{ n } } }{ 1- e^{1/n } }}
}
}
{}
{}{.}
Hier ist der linke Faktor konstant. Für den rechten Faktor betrachten wir den Funktionslimes
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ u \rightarrow 0 } \, { \frac{ u }{ 1-e^u } }} { . }
Dieser existiert nach der
Regel von Hospital
und sein Wert ist $-1$, also gilt dies auch für den rechten Faktor.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es seien
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ = }{ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Das Produkt
\mathl{A \cdot B}{} ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel \anfuehrung{Zeile x Spalte}{,} bei der man insgesamt $8$ Multiplikationen im Körper $K$ ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur $7$ Multiplikationen
\zusatzklammer {aber mit mehr Additionen} {} {}
durchführen kann. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_1
}
{ =} { { \left( a_{1 1} + a_{22} \right) } \cdot { \left( b_{11} + b_{22} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_2
}
{ =} { { \left( a_{2 1} + a_{22} \right) } \cdot b_{11}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_3
}
{ =} { a_{1 1} \cdot { \left( b_{12} - b_{22} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_4
}
{ =} { a_{22} \cdot { \left( b_{21} - b_{11} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_5
}
{ =} { { \left( a_{1 1} + a_{12} \right) } \cdot b_{22}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_6
}
{ =} { { \left( a_{2 1} - a_{11} \right) } \cdot { \left( b_{11} + b_{12} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m_7
}
{ =} { { \left( a_{1 2} - a_{22} \right) } \cdot { \left( b_{21} + b_{22} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{AB
}
{ =} {C
}
{ =} { \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{11}
}
{ =} { m_{1} + m_{4} - m_{5} + m_{7}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{12}
}
{ =} { m_{3} + m_{5}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{21}
}
{ =} { m_{2} + m_{4}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{22}
}
{ =} { m_{1} - m_{2} + m_{3} + m_{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gelten.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ m_{1} + m_{4} - m_{5} + m_{7}
}
{ =} { { \left( a_{1 1} + a_{22} \right) } \cdot { \left( b_{11} + b_{22} \right) } + a_{22} \cdot { \left( b_{21} - b_{11} \right) } - { \left( a_{1 1} + a_{12} \right) } \cdot b_{22} + { \left( a_{1 2} - a_{22} \right) } \cdot { \left( b_{21} + b_{22} \right) }
}
{ =} { a_{11} b_{11}+ a_{22} b_{11} + a_{11} b_{22}+ a_{22} b_{22} + a_{22} b_{21} -a_{22} b_{11} - a_{1 1} b_{22}- a_{12} b_{22} + a_{1 2}b_{21} - a_{22}b_{21}+ a_{1 2} b_{22} - a_{22}b_{22}
}
{ =} { a_{11}b_{11} +a_{12} b_{21}
}
{ =} { c_{11}
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ m_3+m_5
}
{ =} { a_{1 1} \cdot { \left( b_{12} - b_{22} \right) } + { \left( a_{1 1} + a_{12} \right) } \cdot b_{22}
}
{ =} { a_{1 1} b_{12} - a_{11} b_{22} + a_{1 1} b_{22} + a_{12} b_{22}
}
{ =} { a_{11}b_{12} +a_{12} b_{22}
}
{ =} { c_{12}
}
}
{}
{}{,}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ m_2+m_4
}
{ =} { { \left( a_{2 1} + a_{22} \right) } \cdot b_{11} +a_{22} \cdot { \left( b_{21} - b_{11} \right) }
}
{ =} { a_{2 1} b_{11} + a_{22} b_{11} +a_{22} b_{21} - a_{22} b_{11}
}
{ =} { a_{21}b_{11} +a_{22} b_{21}
}
{ =} { c_{21}
}
}
{}
{}{,}
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ m_{1} - m_{2} + m_{3} + m_{6}
}
{ =} { { \left( a_{1 1} + a_{22} \right) } \cdot { \left( b_{11} + b_{22} \right) } - { \left( a_{2 1} + a_{22} \right) } \cdot b_{11} + a_{1 1} \cdot { \left( b_{12}- b_{22} \right) } +{ \left( a_{2 1} - a_{11} \right) } \cdot { \left( b_{11} + b_{12} \right) }
}
{ =} { a_{1 1} b_{11} + a_{22} b_{11} + a_{1 1} b_{22} + a_{22} b_{22} - a_{2 1} b_{11} - a_{22} b_{11} + a_{1 1} b_{12}-a_{1 1} b_{22} + a_{2 1} b_{11} +a_{2 1} b_{12}- a_{11} b_{11} - a_{11} b_{12}
}
{ =} { a_{21}b_{12} +a_{22} b_{22}
}
{ =} { c_{22}
}
}
{}{}{,}
gelten.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (2+1)}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es sei $v_1 , \ldots , v_n$ ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$ und es sei $w_1 , \ldots , w_n$ eine Familie von Vektoren in $W$.
a) Zeige, dass es maximal eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_i)
}
{ = }{ w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$
geben kann.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_i)
}
{ = }{ w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ gibt.
}
{
a) Es sei $v \in V$ beliebig. Da ein Erzeugendensystem vorliegt, gibt es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v }
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } a_iv_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
}
{}{}{.} Da eine lineare Abbildung Linearkombinationen erhält, muss für eine lineare Abbildung $\varphi$ mit $\varphi(v_i)=w_i$ gelten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi( v) }
{ =} { \varphi ( \sum_{ i = 1 }^{ n } a_iv_i ) }
{ =} {\sum_{ i = 1 }^{ n } a_i \varphi(v_i) }
{ =} {\sum_{ i = 1 }^{ n } a_i w_i }
{ } {}
}
{}{}{.}
Es gibt also für $\varphi(v)$ nur diese eine Möglichkeit und daher gibt es maximal ein $\varphi$.
b) Es sei $V=W=K$ und sei $v_1=1$,$v_2=0$, $w_1=w_2=1$. Die beiden Vektoren \mathkor {} {v_1} {und} {v_2} {} sind ein Erzeugendensystem von $K$, da dies für $v_1$ allein schon gilt. Es gibt aber keine lineare Abbildung mit $\varphi(v_2) = \varphi(0) =1$, da eine lineare Abbildung $0$ auf $0$ schickt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keinen weiteren Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(0)
}
{ = }{ \{ 0 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1)
}
{ = }{ \varphi(v_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist wegen der Linearität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_1 - v_2)
}
{ =} {\varphi(v_1) - \varphi(v_2)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1-v_2
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1
}
{ = }{v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
von $M$.
}{Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von $M$ und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
}{Begründe, dass das charakteristische Polynom von $M$ zumindest zwei reelle Nullstellen hat.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X+1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & X+1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & X+1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & X-1 \end{pmatrix}
}
{ =} {(X+1)^3(X-1) +1
}
{ =} { (X^2+2X+1)(X^2-1) +1
}
{ =} { X^4 +2X^3+X^2-X^2-2X-1+1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { X^4+2X^3-2X
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}{Es ist $0$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^4+2X^3-2X
}
{ =} { X (X^3+2X^2-2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Nullstelle $0$ haben wir bereits gefunden. Wir betrachten den zweiten Faktor $X^3+2X^2-2$. Da es sich um ein Polynom ungeraden Grades handelt, muss es eine reelle Nullstelle besitzen. Da $0$ keine Nullstelle davon ist, gibt es also eine weitere reelle Nullstelle.
}
}