Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/8/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 1 2 5 3 3 3 3 4 2 3 9 5 4 3 4 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine injektive Abbildung
  2. Ein Körper.
  3. Der Tangens hyperbolicus.
  4. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
  5. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  6. Der Eigenraum zu und einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Die Abbildung

    ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.

  2. Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

    und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

    1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
    2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
    3. Distributivgesetz: Für alle gilt .
  3. Die durch

    definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.

  4. Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Die Kreiszahl ist definiert durch
  5. Eine Abbildung

    heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

    1. für alle .
    2. für alle und .
  6. Man nennt

    den Eigenraum von zum Wert .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
  2. Die Regel von l'Hospital.
  3. Der Determinantenmultiplikationssatz.


Lösung

  1. Es seien und reelle Folgen. Es gelte

    und und

    konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert .
  2. Es sei ein offenes Intervall und ein Punkt. Es seien

    stetige Funktionen, die auf differenzierbar seien mit und mit für . Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert

    existiert. Dann existiert auch der Grenzwert

    und sein Wert ist ebenfalls .
  3. Es sei ein Körper und . Dann gilt für Matrizen die Beziehung


Aufgabe (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w w
w f w
f w f
f f f


Lösung

.


Aufgabe (1 Punkt)

Ist die Abbildung

injektiv oder nicht?


Lösung

Die Abbildung ist nicht injektiv, da wegen

die beiden Paare und unter auf das gleiche Element abgebildet werden.


Aufgabe (2 Punkte)

Im Wald lebt ein Riese, der Meter und cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von cm haben und mit dem Kopf insgesamt cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander (auf den Schultern) stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?


Lösung

Die Schulterhöhe des Riesen befindet sich (alle Angaben in Meter) auf

Höhe. Mit dem einen Zwerg darauf sind das . Es ist

daher braucht man Zwerge.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.


Lösung

Wir führen Induktion nach . Für steht einerseits und andererseits . Sei die Aussage bereits für bewiesen. Dann ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Beziehung

gilt.


Lösung

Wir rechnen die beiden Seiten aus, die zu zeigende Abschätzung bedeutet dann

In einem angeordneten Körper erhalten sich bei beidseitiger Addition die Abschätzungen, so dass die Abschätzung äquivalent zu

ist. Wir schreiben die linke Seite als

Bei ist und daher

also gilt für die Abschätzung und damit die ursprüngliche Abschätzung.


Aufgabe (3 Punkte)

Vergleiche


Lösung

Wir fragen uns, ob

ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu

Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu

was stimmt. Also ist


Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Lösung

Es ist insgesamt


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Summe


Lösung

Mit der Formel für die geometrische Reihe ist

Ferner ist

Also ist insgesamt


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

in einem beliebigen Punkt .


Lösung

Wir betrachten den Differenzenquotient

Die Ableitung ist der Limes von diesem Ausdruck für gegen , und dieser ist

Die Ableitung ist also .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den folgenden Funktionslimes


Lösung

Mit der Regel von Hospital ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Taylorentwicklung der Funktion

im Punkt bis zum Grad .


Lösung

Die ersten beiden Ableitungen von sind

und

Somit ist

Somit ist die Taylorentwicklung in bis zum Grad gleich


Aufgabe (9 (1+1+2+5) Punkte)

Es sei

und

  1. Bestimme die Nullstellen von .
  2. Bestimme das globale Minimum von .
  3. Finde mit einer Genauigkeit von ein mit
  4. Die Graphen zu und zu begrenzen eine endliche Fläche. Skizziere die Situation und berechne den Flächeninhalt der eingegrenzten Fläche.


Lösung

  1. Es sind und die Nullstellen von .
  2. Es ist

    mit der einzigen Nullstelle bei

    Dort liegt das globale isolierte Minimum mit dem Wert

    vor.

  3. Es ist

    und

    deshalb muss es nach dem Zwischenwertsatz eine Stelle geben, wo den Wert annimmt. Es ist

    Deshalb liegt die gesuchte Stelle in . Es ist

    Deshalb liegt die gesuchte Stelle in . Es ist

    Deshalb liegt die gesuchte Stelle in .

  4. Die Gleichsetzung der beiden Funktionen führt auf

    was auf

    für die -Koordinate der beiden Schnittpunkte führt. Im Folgenden sei der kleinere Wert. Der in Frage stehende Flächeninhalt ergibt sich, indem man von dem Flächeninhalt des durch , der -Achse und die vertikalen Achsen durch und begrenzten Vierecks die Flächeninhalte unterhalb von zwischen und und zwischen und abzieht und den Flächeninhalt der Fläche oberhalb von zwischen und dazuaddiert. Der Flächeninhalt des Vierecks ist

    Eine Stammfunktion zu ist

    die relevanten Werte sind

    Der gesuchte Flächeninhalt ist


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige (ohne Stammfunktionen zu verwenden)


Lösung

Wir betrachten die äquidistante Unterteilung , , und die untere Treppenfunktion , die durch auf dem -ten Teilintervall festgelegt ist. Das zugehörige Treppenintegral ist (unter Verwendung der endlichen geometrischen Reihe)

Hier ist der linke Faktor konstant. Für den rechten Faktor betrachten wir den Funktionslimes

Dieser existiert nach der Regel von Hospital und sein Wert ist , also gilt dies auch für den rechten Faktor.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien -Matrizen und gegeben. Das Produkt ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel „Zeile x Spalte“, bei der man insgesamt Multiplikationen im Körper ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur Multiplikationen (aber mit mehr Additionen) durchführen kann. Wir setzen

Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix

die Gleichungen

gelten.


Lösung

Es ist

gelten.


Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei ein Erzeugendensystem von und es sei eine Familie von Vektoren in .

a) Zeige, dass es maximal eine lineare Abbildung

mit für alle

geben kann.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit für alle gibt.


Lösung

a) Es sei beliebig. Da ein Erzeugendensystem vorliegt, gibt es eine Darstellung
Da eine lineare Abbildung Linearkombinationen erhält, muss für eine lineare Abbildung mit gelten

Es gibt also für nur diese eine Möglichkeit und daher gibt es maximal ein .

b) Sei und sei ,, . Die beiden Vektoren und sind ein Erzeugendensystem von , da dies für allein schon gilt. Es gibt aber keine lineare Abbildung mit , da eine lineare Abbildung auf schickt.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Lösung

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben keinen weiteren Vektor mit geben. Also ist .
Sei umgekehrt und seien gegeben mit . Dann ist wegen der Linearität

Daher ist und damit .


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

  1. Bestimme das charakteristische Polynom von .
  2. Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
  3. Begründe, dass das charakteristische Polynom von zumindest zwei reelle Nullstellen hat.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms und es ist
  3. Die Nullstelle haben wir bereits gefunden. Wir betrachten den zweiten Faktor . Da es sich um ein Polynom ungeraden Grades handelt, muss es eine reelle Nullstelle besitzen. Da keine Nullstelle davon ist, gibt es also eine weitere reelle Nullstelle.