Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 12/latex

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\setcounter{section}{12}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es in $\Q$ kein Element $x$ mit $x^2=2$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_0=2$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {reelle Folge}{}{.} Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn es für jedes
\mathl{k \in \N_+}{} ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart gibt, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ k } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \frac{ 1 }{ n^2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene \definitionsverweis {Folge}{}{} \zusatzklammer {\mathlk{n \geq 1}{}} {} {} auf \definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} zwei \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {reelle Folgen}{}{} mit
\mathl{x_n \geq y_n}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass dann $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n \geq \lim_{n \rightarrow \infty} y_n$ gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {reelle Folgen}{}{.} Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen diesen Grenzwert $a$ konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} reeller Zahlen mit \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $x$. Zeige, dass dann auch die Folge
\mathdisp {{ \left( \betrag { x_n } \right) }_{ n \in \N }} { }
konvergiert, und zwar gegen $\betrag { x }$.

}
{} {}

In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.

Die Folge der \definitionswort {Fibonacci-Zahlen}{} $f_n$ ist rekursiv definiert durch
\mathdisp {f_1 \defeq 1 \, , f_2 \defeq 1 \text{ und } f_{n+2} \defeq f_{n+1} +f_{n}} { . }





\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise durch Induktion die \stichwort {Simpson-Formel} {} oder Simpson-Identität für die \definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{} $f_n$. Sie besagt \zusatzklammer {für \mathlk{n \geq 2}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_{n+1} f_{n-1} - f_n^2 }
{ =} {(-1)^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise durch Induktion die \stichwort {Binet-Formel} {} für die \definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{.} Diese besagt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n }
{ =} { \frac{ { \left( \frac{1+\sqrt{5} }{2} \right) }^n - { \left( \frac{1-\sqrt{5} }{2} \right) }^n}{\sqrt{5} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man untersuche die folgenden Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf die Begriffe \definitionsverweis {obere Schranke}{}{,} \definitionsverweis {untere Schranke}{}{,} \definitionsverweis {Supremum}{}{,} \definitionsverweis {Infimum}{}{,} \definitionsverweis {Maximum}{}{} und \definitionsverweis {Minimum}{}{.} \aufzaehlungneun{ $\{2,-3,-4,5,6,-1,1\}$, }{ $\left \{\frac{1}{2},\frac{-3}{7} , \frac{-4}{9} , \frac{5}{9} , \frac{6}{13} , \frac{-1}{3}, \frac{1}{4} \right \}$, }{ $]-5, 2]$, }{ $\left \{ \frac{1}{n} {{|}} \, n \in \N_+ \right \}$, }{ $\left \{ \frac{1}{n} {{|}} \, n \in \N_+ \right \} \cup \{0\}$, }{ $\Q_-$, }{ ${ \left\{ x \in \Q \mid x^2 \leq 2 \right\} }$, }{ ${ \left\{ x \in \Q \mid x^2 \leq 4 \right\} }$, }{ ${ \left\{ x^2 \mid x \in \Z \right\} }$. }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Untersuche die durch
\mathdisp {x_n = { \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } }} { }
gegebene Folge (\mathlk{n \geq 1}{}) auf \definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \frac{ 7n^3-3n^2+2n-11 }{ 13n^3-5n+4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierten \definitionsverweis {Folge}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mathdisp {\left( \frac{n}{2^n} \right)_{ n \in \N }} { }
gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Untersuche die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} {{ \frac{ \sqrt{n}^n }{ n! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene Folge auf \definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Seien $(x_n)_{n \in \N}$ und $(y_n)_{n \in \N}$ Folgen reeller Zahlen und sei die Folge $(z_n)_{n \in \N}$ definiert durch $z_{2n-1}:=x_n$ und $z_{2n}:=y_n$. Zeige, dass $(z_n)_{n \in \N}$ genau dann konvergiert, wenn $(x_n)_{n \in \N}$ und $(y_n)_{n \in \N}$ gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der durch
\mathdisp {x_n = { \frac{ 2n+5 \sqrt{n} +7 }{ -5 n+3 \sqrt{n} -4 } }} { }
definierten \definitionsverweis {reellen Folge}{}{.}

}
{} {}



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