Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 12

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass es in kein Element mit gibt.


Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Aufgabe

Es sei eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn es für jedes ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung gilt.


Aufgabe

Untersuche die durch

gegebene Folge () auf Konvergenz.


Aufgabe *

Es seien und zwei konvergente reelle Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Aufgabe *

Es seien und drei reelle Folgen. Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert . Zeige, dass dann auch die Folge

konvergiert, und zwar gegen .


In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch


Aufgabe *

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen . Sie besagt (für )


Aufgabe

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

gilt ().


Aufgabe

Man untersuche die folgenden Teilmengen auf die Begriffe obere Schranke, untere Schranke, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Untersuche die durch

gegebene Folge () auf Konvergenz.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Folge

gegen konvergiert.


Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die durch

gegebene Folge auf Konvergenz.


Aufgabe (5 Punkte)

Seien und Folgen reeller Zahlen und sei die Folge definiert durch und . Zeige, dass genau dann konvergiert, wenn und gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten reellen Folge.



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