Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 12

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass es in ${}\mathbb {Q}$ kein Element ${}x$ mit ${}x^{2}=2$ gibt.

Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=2$ .

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann gegen ${}x$ konvergiert, wenn es für jedes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {1}{k}}$ gilt.

Aufgabe

Untersuche die durch

{}x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}\,

gegebene Folge ( ${}n\geq 1$ ) auf Konvergenz.

Aufgabe *

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente reelle Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Zeige, dass dann ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.

Aufgabe *

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei reelle Folgen. Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$ . Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}a$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert ${}x$ . Zeige, dass dann auch die Folge

{\left(\vert {x_{n}}\vert \right)}_{n\in \mathbb {N} }

konvergiert, und zwar gegen ${}\vert {x}\vert$ .

In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$ ist rekursiv definiert durch

f_{1}:=1\,,f_{2}:=1{\text{ und }}f_{n+2}:=f_{n+1}+f_{n}.

Aufgabe *

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$ . Sie besagt (für $n\geq 2$ )

{}f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}\,.

Aufgabe

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

{}f_{n}={\frac {{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)}^{n}-{\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)}^{n}}{\sqrt {5}}}\,

gilt ( ${}n\geq 1$ ).

Aufgabe

Man untersuche die folgenden Teilmengen ${}M\subseteq \mathbb {R}$ auf die Begriffe obere Schranke, untere Schranke, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum.

${}\{2,-3,-4,5,6,-1,1\}$ ,
${}\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {-3}{7}},{\frac {-4}{9}},{\frac {5}{9}},{\frac {6}{13}},{\frac {-1}{3}},{\frac {1}{4}}\right\}$ ,
${}]-5,2]$ ,
${}{\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$ ,
${}{\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}$ ,
${}\mathbb {Q} _{-}$ ,
${}{\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\right\}}$ ,
${}{\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 4\right\}}$ ,
${}{\left\{x^{2}\mid x\in \mathbb {Z} \right\}}$ .

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Untersuche die durch

x_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}

gegebene Folge ( ${}n\geq 1$ ) auf Konvergenz.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

{}x_{n}={\frac {7n^{3}-3n^{2}+2n-11}{13n^{3}-5n+4}}\,

definierten Folge.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Folge

{\left({\frac {n}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }

gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die durch

{}x_{n}={\frac {{\sqrt {n}}^{n}}{n!}}\,

gegebene Folge auf Konvergenz.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen reeller Zahlen und sei die Folge ${}(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert durch ${}z_{2n-1}:=x_{n}$ und ${}z_{2n}:=y_{n}$ . Zeige, dass ${}(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann konvergiert, wenn ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.