Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 12

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass es in $ℚ$ kein Element $x$ mit $x^{2} = 2$ gibt.

Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_{0} = 2$ .

Es sei ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x$ konvergiert, wenn es für jedes $k \in ℕ_{+}$ ein $n_{0} \in ℕ$ derart gibt, dass für alle $n \geq n_{0}$ die Abschätzung $| x_{n} - x | \leq \frac{1}{k}$ gilt.

Aufgabe

Untersuche die durch

x_{n} = \frac{1}{n^{2}}

gegebene Folge ( $n \geq 1$ ) auf Konvergenz.

Aufgabe *

Es seien ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ und ${(y_{n})}_{n \in ℕ}$ zwei konvergente reelle Folgen mit $x_{n} \geq y_{n}$ für alle $n \in ℕ$ . Zeige, dass dann $lim_{n \to \infty} x_{n} \geq lim_{n \to \infty} y_{n}$ gilt.

Aufgabe *

Es seien ${(x_{n})}_{n \in ℕ}, {(y_{n})}_{n \in ℕ}$ und ${(z_{n})}_{n \in ℕ}$ drei reelle Folgen. Es gelte $x_{n} \leq y_{n} \leq z_{n} für alle n \in ℕ$ und ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ und ${(z_{n})}_{n \in ℕ}$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$ . Zeige, dass dann auch ${(y_{n})}_{n \in ℕ}$ gegen $a$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert $x$ . Zeige, dass dann auch die Folge

{(| x_{n} |)}_{n \in ℕ}

konvergiert, und zwar gegen $| x |$ .

In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen $f_{n}$ ist rekursiv durch

f_{1} := 1, f_{2} := 1 und f_{n + 2} := f_{n + 1} + f_{n}

definiert.

Aufgabe *

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen $f_{n}$ . Sie besagt (für $n \geq 2$ )

f_{n + 1} f_{n - 1} - f_{n}^{2} = (- 1)^{n} .

Aufgabe

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

f_{n} = \frac{{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}}{\sqrt{5}}

gilt ( $n \geq 0$ ).

Aufgabe

Man untersuche die folgenden Teilmengen $M \subseteq ℝ$ auf die Begriffe obere Schranke, untere Schranke, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum.

${2, - 3, - 4, 5, 6, - 1, 1}$ ,
${\frac{1}{2}, \frac{- 3}{7}, \frac{- 4}{9}, \frac{5}{9}, \frac{6}{13}, \frac{- 1}{3}, \frac{1}{4}}$ ,
$] - 5, 2]$ ,
${\frac{1}{n} ∣ n \in ℕ_{+}}$ ,
${\frac{1}{n} ∣ n \in ℕ_{+}} \cup {0}$ ,
$ℚ_{-}$ ,
${x \in ℚ ∣ x^{2} \leq 2}$ ,
${x \in ℚ ∣ x^{2} \leq 4}$ ,
${x^{2} ∣ x \in ℤ}$ .

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Untersuche die durch

x_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}

gegebene Folge ( $n \geq 1$ ) auf Konvergenz.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

x_{n} = \frac{7 n^{3} - 3 n^{2} + 2 n - 11}{13 n^{3} - 5 n + 4}

definierten Folge.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Folge

{(\frac{n}{2^{n}})}_{n \in ℕ}

gegen $0$ konvergiert.

Aufgabe (5 Punkte)

Untersuche die durch

x_{n} = \frac{{\sqrt{n}}^{n}}{n!}

gegebene Folge auf Konvergenz.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien $(x_{n})_{n \in ℕ}$ und $(y_{n})_{n \in ℕ}$ Folgen reeller Zahlen und sei die Folge $(z_{n})_{n \in ℕ}$ definiert durch $z_{2 n - 1} := x_{n}$ und $z_{2 n} := y_{n}$ . Zeige, dass $(z_{n})_{n \in ℕ}$ genau dann konvergiert, wenn $(x_{n})_{n \in ℕ}$ und $(y_{n})_{n \in ℕ}$ gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

x_{n} = \frac{2 n + 5 \sqrt{n} + 7}{- 5 n + 3 \sqrt{n} - 4}

definierten reellen Folge.

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