Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 13

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 13.1.

Aufgabe

Es sei  $k\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige, dass die Folge ${\left(\frac{1}{n^k}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $0$ konvergiert.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in $\mathbb{Q}$, die (in $\mathbb{Q}$) nicht konvergiert.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine reelle Folge, die nicht konvergiert, aber eine konvergente Teilfolge enthält.

Aufgabe

Es sei  $a\in {ℝ}_{\ge 0}$  eine nichtnegative reelle Zahl und  $x_0\in {ℝ}_{+}$.  Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit

$x_{n+1}:=\frac{x_n+a/x_n}{2}$

gegen $\sqrt{a}$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ die Folge der Fibonacci-Zahlen und

$x_n=\frac{f_n}{f_{n-1}}.$

Zeige, dass diese Folge in $ℝ$ konvergiert und dass der Grenzwert $x$ die Bedingung

$x=1+x^{-1}$

erfüllt. Berechne daraus $x$.

Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.

Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.

Zu zwei reellen Zahlen $x$ und $y$ heißt

$\frac{x+y}{2}$

das arithmetische Mittel.

Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen $x$ und $y$ heißt

$\sqrt{x\cdot y}$

das geometrische Mittel.

Aufgabe *

Es seien $x$ und $y$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.

Aufgabe *

Es sei $I_n$, $n\in \mathbb{N}$, eine Intervallschachtelung in $ℝ$. Zeige, dass der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{I}_n$

aus genau einem Punkt  $x\in ℝ$  besteht.

Aufgabe

Es sei  $x>1$  eine reelle Zahl. Zeige, dass die Folge $x^n,n\in \mathbb{N}$, bestimmt divergent gegen $+\mathrm{\infty }$ ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer reellen Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$, für die es sowohl eine bestimmt gegen $+\mathrm{\infty }$ als auch eine bestimmt gegen $-\mathrm{\infty }$ divergente Teilfolge gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe Beispiele für konvergente reelle Folgen ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $x_n\ne 0$, $n\in \mathbb{N}$, und mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$ derart, dass die Folge

${\left(\frac{y_n}{x_n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

1. gegen $0$ konvergiert,
2. gegen $1$ konvergiert,
3. divergiert.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien $P=\sum _{i=0}^d{a}_i{x}^i$ und $Q=\sum _{i=0}^e{b}_i{x}^i$ Polynome mit  $a_d,b_e\ne 0$.  Man bestimme in Abhängigkeit von $d$ und $e$, ob die durch

$z_n=\frac{P(n)}{Q(n)}$

(für $n$ hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $I_n$, $n\in \mathbb{N}$, eine Intervallschachtelung in $ℝ$ und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine reelle Folge mit  $x_n\in I_n$  für alle  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $b>a>0$ positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ durch $x_0=a$, $y_0=b$ und durch

$x_{n+1}=\text{ geometrisches Mittel von }{x}_n\text{ und }{y}_n,$

$y_{n+1}=\text{ arithmetisches Mittel von }{x}_n\text{ und }{y}_n.$

Zeige, dass $[x_n,y_n]$ eine Intervallschachtelung ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Folge ${\left(\sqrt{n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ bestimmt divergent gegen $\mathrm{\infty }$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine reelle Folge mit  $x_n>0$  für alle  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass die Folge genau dann bestimmt divergent gegen $+\mathrm{\infty }$ ist, wenn ${\left(\frac{1}{x_n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $0$ konvergiert.

Weihnachtsaufgabe

Die folgende Aufgabe soll bis zum 4.1.2012 (getrennt von den anderen Aufgaben) abgegeben werden. Die erreichten Punkte fließen zusätzlich auf Ihr Punktekonto.

Aufgabe (10 Punkte)

In einem weihnachtlich geschmückten Raum befinden sich $n\ge 4$ Personen, die wichteln wollen. D.h. für jede Person $A$ muss eine weitere Person $B\ne A$ bestimmt werden, für die $A$ ein Geschenk besorgen soll. Jede Person darf nur wissen (und weiß), wen sie beschenken soll, und keine Person darf mehr wissen. Die Personen bleiben die ganze Zeit im Raum, sie schauen nicht weg oder Ähnliches. Es stehen allein Papier und Stifte zur Verfügung. Mischen ist erlaubt, d.h. man darf „zufällige“ Permutationen von optisch gleichen Objekten vornehmen, und diese sind nicht rekonstruierbar. Es darf gelost werden und dabei darf eine gezogene Information verdeckt gelesen werden. Zettel dürfen (auch heimlich) beschrieben werden.

Entwerfe ein einmalig durchzuführendes Verteilungsverfahren, das all diese Bedingungen erfüllt.

Fußnoten

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