Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 13

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 13.1.


Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Cauchy-Folge in , die (in ) nicht konvergiert.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine reelle Folge, die nicht konvergiert, aber eine konvergente Teilfolge enthält.


Aufgabe

Sei eine nichtnegative reelle Zahl und . Zeige, dass die rekursiv definierte Folge mit

gegen konvergiert.


Aufgabe

Es sei die Folge der Fibonacci-Zahlen und

Zeige, dass diese Folge in konvergiert und dass der Grenzwert die Bedingung

erfüllt. Berechne daraus .

Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.

Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.


Zu zwei reellen Zahlen und heißt

das arithmetische Mittel.


Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen und heißt

das geometrische Mittel.


Aufgabe *

Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.


Aufgabe *

Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Zeige, dass der Durchschnitt

aus genau einem Punkt besteht.


Aufgabe

Sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die Folge , bestimmt divergent gegen ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer reellen Folge , für die es sowohl eine bestimmt gegen als auch eine bestimmt gegen divergente Teilfolge gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe Beispiele für konvergente reelle Folgen und mit , , und mit derart, dass die Folge

  1. gegen konvergiert,
  2. gegen konvergiert,
  3. divergiert.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien und Polynome mit . Man bestimme in Abhängigkeit von und , ob die durch

(für hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei , , eine Intervallschachtelung in und sei eine reelle Folge mit für alle . Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen und durch , und durch

Zeige, dass eine Intervallschachtelung ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Folge bestimmt divergent gegen ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine reelle Folge mit für alle . Zeige, dass die Folge genau dann bestimmt divergent gegen ist, wenn gegen konvergiert.




Weihnachtsaufgabe

Die folgende Aufgabe soll bis zum 4.1.2012 (getrennt von den anderen Aufgaben) abgegeben werden. Die erreichten Punkte fließen zusätzlich auf Ihr Punktekonto.

Aufgabe (10 Punkte)

In einem weihnachtlich geschmückten Raum befinden sich Personen, die wichteln wollen. D.h. für jede Person muss eine weitere Person bestimmt werden, für die ein Geschenk besorgen soll.[1] Jede Person darf nur wissen (und weiß), wen sie beschenken soll, und keine Person darf mehr wissen.[2] Die Personen bleiben die ganze Zeit im Raum, sie schauen nicht weg oder Ähnliches. Es stehen allein Papier und Stifte zur Verfügung. Mischen ist erlaubt, d.h. man darf „zufällige“ Permutationen von optisch gleichen Objekten vornehmen, und diese sind nicht rekonstruierbar. Es darf gelost werden und dabei darf eine gezogene Information verdeckt gelesen werden. Zettel dürfen (auch heimlich) beschrieben werden.

Entwerfe ein einmalig durchzuführendes Verteilungsverfahren, das all diese Bedingungen erfüllt.




Fußnoten
  1. Dabei soll jede Person genau ein Geschenk bekommen.
  2. Dies soll auch bedeuten, dass für jede Person alle anderen Personen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit als Schenker in Frage kommen.



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