Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 5/latex

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\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

In einer Familie leben
\mathl{M,P,S}{} und $T$. Dabei ist $M$ dreimal so alt wie \mathkor {} {S} {und} {T} {} zusammen, $M$ ist älter als $P$ und $S$ ist älter als $T$, wobei der Altersunterschied von $S$ zu $T$ doppelt so groß wie der von $M$ zu $P$ ist. Ferner ist $P$ siebenmal so alt wie $T$ und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich $83$.

a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.

b) Löse dieses Gleichungssystem.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}50}{} \euro\ und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}30}{} \euro . Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, so dass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in \R$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2+dX^3} { }
mit $a,b,c,d \in \R$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(0) =1,\, f(1) = 2,\, f(2) = 0, \, f(-1) = 1} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft.

}
{} {}

Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an den Begriff der Sekante.

Zu einer auf einer Teilmenge
\mathl{T \subseteq \R}{} definierten Funktion \maabbdisp {f} {T} {\R } {} und zwei verschiedenen Punkten
\mathl{a,b \in T}{} heißt die Gerade durch \mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(b,f(b))} {} die \definitionswort {Sekante}{} von $f$ an \mathkor {} {a} {und} {b} {.}





\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine Geradengleichung der Sekante der Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {-x^3+x^2+2 } {,} zu den Stellen
\mathbed {3} {und}
{4} {}
{} {} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\R^3$, auf der die drei Punkte \mathlistdisp {(1,0,0)} {} {(0,1,2)} {und} {(2,3,4)} {} liegen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde zu einer \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mathl{z=a+b { \mathrm i} \neq 0}{} die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Löse über den \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} { \mathrm i} x &+y & +(2- { \mathrm i})z & = & 2 \\ & 7y& +2 { \mathrm i} z &=& -1+3 { \mathrm i} \\ & & (2-5 { \mathrm i}) z &=& 1 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ der in Beispiel 2.3 eingeführte \definitionsverweis {Körper}{}{} mit zwei Elementen. Löse in $K$ das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &+y & & = & 1 \\ & y& +z &=& 0 \\ x& +y & +z &=& 0 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I,II,III gegebene \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{} nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem \definitionsverweis {äquivalent}{}{} sein muss.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x & +2 y & +3 z & +4 w & = & 1 \\ 2 x & +3 y & +4 z & +5 w & = & 7 \\ x & \, \, \, \, \, \, \, \, & + z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 9 \\ x & +5 y & +5 z & + w & = & 0 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Betrachte im $\R^3$ die beiden Ebenen
\mathdisp {E = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 3x+4y+5z = 2 \right\} } \text{ und } F = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 2x-y+3z = -1 \right\} }} { . }
Bestimme die Schnittgerade $E \cap F$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\R^3$, auf der die drei Punkte \mathlistdisp {(1,0,2)} {} {(4,-3,2)} {und} {(2,1,-1)} {} liegen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in {\mathbb C}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f({ \mathrm i}) =1,\, f(1) = 1+{ \mathrm i},\, f(1-2{ \mathrm i}) = -{ \mathrm i}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 2 x &-ay & & = & -2 \\

ax &  & +3 z &=& 3 \\
-{ \frac{  1 }{ 3 } }x & +y & + z &=& 2 

\end{matrix}} { }
über den \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} in Abhängigkeit von
\mathl{a \in \R}{.} Für welche
\mathl{a}{} besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen?

}
{} {}



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