Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
In einer Familie leben
\mathl{M,P,S}{} und $T$. Dabei ist $M$ dreimal so alt wie
\mathkor {} {S} {und} {T} {}
zusammen, $M$ ist älter als $P$ und $S$ ist älter als $T$, wobei der Altersunterschied von $S$ zu $T$ doppelt so groß wie der von $M$ zu $P$ ist. Ferner ist $P$ siebenmal so alt wie $T$ und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich $83$.
a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.
b) Löse dieses Gleichungssystem.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}50}{} \euro\ und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}30}{} \euro . Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, so dass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2+dX^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(0) =1,\, f(1) = 2,\, f(2) = 0, \, f(-1) = 1} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft.
}
{} {}
Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an den Begriff der Sekante.
Zu einer auf einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierten Funktion
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
und zwei verschiedenen Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die Gerade durch
\mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(b,f(b))} {}
die
\definitionswort {Sekante}{}
von $f$ an
\mathkor {} {a} {und} {b} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine Geradengleichung der Sekante der Funktion
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {-x^3+x^2+2
} {,}
zu den Stellen
\mathbed {3} {und}
{4} {}
{} {} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\R^3$, auf der die drei Punkte \mathlistdisp {(1,0,0)} {} {(0,1,2)} {und} {(2,3,4)} {} liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde zu einer
\definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} {a+b { \mathrm i}
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix}
{ \mathrm i} x &+y & +(2- { \mathrm i})z & = & 2 \\ & 7y& +2 { \mathrm i} z &=& -1+3 { \mathrm i} \\ & & (2-5 { \mathrm i}) z &=& 1 \, .
\end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ der in
Beispiel 2.3
eingeführte
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit zwei Elementen. Löse in $K$ das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix}
x &+y & & = & 1 \\ & y& +z &=& 0 \\ x& +y & +z &=& 0 \, .
\end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I,II,III gegebene \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{} nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem \definitionsverweis {äquivalent}{}{} sein muss.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &
+2 y &
+3 z &
+4 w & = & 1 \\ 2 x &
+3 y &
+4 z &
+5 w & = & 7 \\ x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 9 \\ x &
+5 y &
+5 z &
+ w & = & 0 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte im $\R^3$ die beiden Ebenen
\mathdisp {E = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 3x+4y+5z = 2 \right\} } \text{ und } F = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 2x-y+3z = -1 \right\} }} { . }
Bestimme die Schnittgerade $E \cap F$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\R^3$, auf der die drei Punkte \mathlistdisp {(1,0,2)} {} {(4,-3,2)} {und} {(2,1,-1)} {} liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in {\mathbb C}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f({ \mathrm i}) =1,\, f(1) = 1+{ \mathrm i},\, f(1-2{ \mathrm i}) = -{ \mathrm i}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &-ay & & = & -2 \\
ax & & +3 z &=& 3 \\
-{ \frac{ 1 }{ 3 } }x & +y & + z &=& 2
\end{matrix}} { }
über den
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
in Abhängigkeit von
\mathl{a \in \R}{.} Für welche
\mathl{a}{} besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen?
}
{} {}
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