Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 4

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Untersuche für jedes die Funktion

auf Injektivität und Surjektivität.


Aufgabe

Man beschreibe eine Bijektion zwischen und .


Aufgabe

Man gebe Beispiele für Abbildungen

derart, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass surjektiv, aber nicht injektiv ist.


Aufgabe

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Es sei

eine Abbildung, die

und erfüllt. Zeige, dass dann die Umkehrabbildung von ist.


Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen und für die Abbildungen , die durch

definiert sind.


Aufgabe *

Es seien und Mengen und es seien

und

Abbildungen. Zeige, dass dann

gilt.


Aufgabe *

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Aufgabe

Es seien

Funktionen, die wachsend oder fallend seien, und sei ihre Hintereinanderschaltung. Es sei die Anzahl der fallenden Funktionen unter den . Zeige, dass bei gerade wachsend und bei ungerade fallend ist.


Aufgabe

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

  1. ,
  2. .


Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper gilt: Wenn beide ungleich sind, so ist auch .


Aufgabe *

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die komplexe Zahl ersetzt.


Aufgabe

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass jedes Polynom eine Produktzerlegung

mit und einem nullstellenfreien Polynom besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen und die zugehörigen Exponenten bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.


Aufgabe

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass in Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten gilt.


Aufgabe

Skizziere die Graphen der folgenden rationalen Funktionen

wobei jeweils das Komplement der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms sei.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. .


Aufgabe

Es sei ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei eine Nullstelle von . Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle von ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte auf der Menge die Abbildung

die durch die Wertetabelle

gegeben ist. Berechne , also die -te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von mit sich selbst.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine streng wachsende Funktion

injektiv ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn surjektiv ist, so ist auch surjektiv.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring das Produkt


Aufgabe (4 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad oder schreiben kann.



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