Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 4
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe
Aufgabe
Man beschreibe eine Bijektion zwischen und .
Aufgabe
Man gebe Beispiele für Abbildungen
derart, dass injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass surjektiv, aber nicht injektiv ist.
Aufgabe
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Es sei
und erfüllt. Zeige, dass dann die Umkehrabbildung von ist.
Aufgabe
Aufgabe *
Aufgabe *
Es seien Mengen und
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.
Aufgabe
Es seien
Funktionen, die wachsend oder fallend seien, und sei ihre Hintereinanderschaltung. Es sei die Anzahl der fallenden Funktionen unter den . Zeige, dass bei gerade wachsend und bei ungerade fallend ist.
Aufgabe
Berechne im Polynomring das Produkt
Aufgabe *
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.
Aufgabe
Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper gilt: Wenn beide ungleich sind, so ist auch .
Aufgabe *
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).
- .
- .
- .
Aufgabe
Aufgabe
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass jedes Polynom eine Produktzerlegung
mit und einem nullstellenfreien Polynom besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen und die zugehörigen Exponenten bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.
Aufgabe
Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass in Linearfaktoren zerfällt.
Aufgabe
Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten gilt.
Aufgabe
Skizziere die Graphen der folgenden rationalen Funktionen
wobei jeweils das Komplement der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms sei.
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Aufgabe
Es sei ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei eine Nullstelle von . Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle von ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Betrachte auf der Menge die Abbildung
die durch die Wertetabelle
gegeben ist. Berechne , also die -te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von mit sich selbst.
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien Mengen und
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
Zeige: Wenn surjektiv ist, so ist auch surjektiv.
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne im Polynomring das Produkt
Aufgabe (4 Punkte)
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad oder schreiben kann.
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