Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 4

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Untersuche für jedes  $n\in \mathbb{N}$  die Funktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼x^n,$

auf Injektivität und Surjektivität.

Aufgabe

Man beschreibe eine Bijektion zwischen $\mathbb{N}$ und $\mathbb{Z}$.

Aufgabe

Man gebe Beispiele für Abbildungen

$\phi ,\psi :\mathbb{N}⟶\mathbb{N}$

derart, dass $\phi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist, und dass $\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.

Aufgabe

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

$F:L⟶M$

eine Abbildung. Es sei

$G:M⟶L$

eine Abbildung, die

$F\circ G={\mathrm{Id}}_M$ und $G\circ F={\mathrm{Id}}_L$ erfüllt. Zeige, dass dann $G$ die Umkehrabbildung von $F$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Hintereinanderschaltungen $\phi \circ \psi$ und $\psi \circ \phi$ für die Abbildungen $\phi ,\psi :ℝ\to ℝ$, die durch

$\phi (x)=x^4+3x^2-2x+5\text{ und }\psi (x)=2x^3-x^2+6x-1$

definiert sind.

Aufgabe *

Es seien $L,M,N$ und $P$ Mengen und es seien

$F:L⟶M,x⟼F(x),$

$G:M⟶N,y⟼G(y),$

und

$H:N⟶P,z⟼H(z),$

Abbildungen. Zeige, dass dann

$H\circ (G\circ F)=(H\circ G)\circ F$

gilt.

Aufgabe *

Es seien $L,M,N$ Mengen und

$f:L⟶M\text{ und }g:M⟶N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f:L⟶N,x⟼g(f(x)).$

Zeige: Wenn $g\circ f$ injektiv ist, so ist auch $f$ injektiv.

Aufgabe

Es seien

$f_1,\dots ,f_n:ℝ⟶ℝ$

Funktionen, die wachsend oder fallend seien, und sei $f=f_n\circ \cdots \circ f_1$ ihre Hintereinanderschaltung. Es sei $k$ die Anzahl der fallenden Funktionen unter den $f_i$. Zeige, dass bei $k$ gerade $f$ wachsend und bei $k$ ungerade $f$ fallend ist.

Aufgabe

Berechne im Polynomring $ℂ[X]$ das Produkt

$((4+\mathrm{i})X^2-3X+9\mathrm{i})\cdot ((-3+7\mathrm{i})X^2+(2+2\mathrm{i})X-1+6\mathrm{i}).$

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. $\mathrm{grad}(P+Q)\le max\{\mathrm{grad}(P),\mathrm{grad}(Q)\}.$

2. $\mathrm{grad}(P\cdot Q)=\mathrm{grad}(P)+\mathrm{grad}(Q).$

Aufgabe

Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper $K$ gilt: Wenn  $P,Q\in K[X]$  beide ungleich $0$ sind, so ist auch  $PQ\ne 0$. 

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei  $a\in K$.  Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi :K[X]⟶K,P⟼P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien  $P,Q\in K[X]$ ).

1. $(P+Q)(a)=P(a)+Q(a).$

2. $(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a).$

3. $1(a)=1.$

Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$2X^3-5X^2-4X+7$

die Variable $X$ durch die komplexe Zahl $2-5\mathrm{i}$ ersetzt.

Aufgabe

Führe in $\mathbb{Q}[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=3X^4+7X^2-2X+5$ und $T=2X^2+3X-1$ durch.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass jedes Polynom $P\in K[X]$, $P\ne 0$, eine Produktzerlegung

$P=(X-{\lambda }_1{)}^{{\mu }_1}\cdots (X-{\lambda }_k{)}^{{\mu }_k}\cdot Q$

mit  ${\mu }_j\ge 1$  und einem nullstellenfreien Polynom $Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ und die zugehörigen Exponenten ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_k$ bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.

Aufgabe

Es sei  $F\in ℂ[X]$  ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass $F$ in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten  $n=3$  gilt.

Aufgabe

Skizziere die Graphen der folgenden rationalen Funktionen

$f=g/h:U⟶ℝ,$

wobei $U$ jeweils das Komplement der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms $h$ sei.

1. $1/x$,
2. $1/x^2$,
3. $1/(x^2+1)$,
4. $x/(x^2+1)$,
5. $x^2/(x^2+1)$,
6. $x^3/(x^2+1)$,
7. $(x-2)(x+2)(x+4)/(x-1)x(x+1)$.

Aufgabe

Es sei  $P\in ℝ[X]$  ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei  $z\in ℂ$  eine Nullstelle von $P$. Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl $\bar{z}$ eine Nullstelle von $P$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte auf der Menge $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Abbildung

$\phi :M⟶M,x⟼\phi (x),$

die durch die Wertetabelle

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$\phi (x)$	$2$	$5$	$6$	$1$	$4$	$3$	$7$	$7$

gegeben ist. Berechne ${\phi }^{1003}$, also die $1003$-te Hintereinanderschaltung (oder Iteration) von $\phi$ mit sich selbst.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass eine streng wachsende Funktion

$f:ℝ⟶ℝ$

injektiv ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $L,M,N$ Mengen und

$f:L⟶M\text{ und }g:M⟶N$

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

$g\circ f:L⟶N,x⟼g(f(x)).$

Zeige: Wenn $g\circ f$ surjektiv ist, so ist auch $g$ surjektiv.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne im Polynomring $ℂ[X]$ das Produkt

$((4+\mathrm{i})X^3-\mathrm{i}{X}^2+2X+3+2\mathrm{i})\cdot ((2-\mathrm{i})X^3+(3-5\mathrm{i})X^2+(2+\mathrm{i})X+1+5\mathrm{i}).$

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in $ℂ[X]$ die Division mit Rest „$P$ durch $T$“ für die beiden Polynome $P=(5+\mathrm{i})X^4+\mathrm{i}{X}^2+(3-2\mathrm{i})X-1$ und $T=X^2+\mathrm{i}X+3-\mathrm{i}$ durch.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $P\in ℝ[X]$  ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad $1$ oder $2$ schreiben kann.

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