Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesung 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Rechenregeln für Folgen}
\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Die Folge
\mathl{{ \left( x_n+y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ist konvergent und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n+y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } + { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \cdot y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ist konvergent und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n \cdot y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} cx_n
}
{ =} { c { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mathl{{ \left( \frac{1}{x_n} \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_n}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mathl{{ \left( \frac{y_n}{x_n} \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{y_n}{x_n}
}
{ =} { { \frac{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Es seien $x$ bzw. $y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen der Konvergenz der ersten Folge gibt es zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \epsilon'
}
{ =} { { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} { \epsilon'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Ebenso gibt es wegen der Konvergenz der zweiten Folge zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon'
}
{ = }{ { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $n_0'$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y_n-y }
}
{ \leq} { \epsilon'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} { {\max { \left( n_0 , n_0' \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {unter Verwendung der
Dreiecksungleichung} {} {}
die Abschätzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { x_n+y_n -(x+y) }
}
{ =} { \betrag { x_n+y_n -x-y }
}
{ =} { \betrag { x_n-x +y_n -y }
}
{ \leq} { \betrag { x_n-x } + \betrag { y_n -y }
}
{ \leq} { \epsilon' + \epsilon'
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Die konvergente Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} ist nach
Lemma 12.8
insbesondere
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
und daher existiert ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n }
}
{ \leq }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mathkor {} {x \defeq \lim_{n \rightarrow \infty} x_n} {und} {y \defeq \lim_{n \rightarrow \infty} y_n} {.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \defeq }{\max \{D, \betrag { y } \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen
\mathkor {} {N_1} {und} {N_2} {}
mit
\mathdisp {\betrag { x_n -x } \leq \frac{\epsilon}{2C} \text{ für } n \geq N_1 \text{ und } \betrag { y_n -y } \leq \frac{\epsilon}{2C} \text{ für } n \geq N_2} { . }
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N
}
{ \defeq }{ \max\{N_1,N_2\}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese Zahlen gilt daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { x_ny_n -xy }
}
{ =} { \betrag { x_ny_n-x_ny+x_n y-xy }
}
{ \leq} {\betrag { x_ny_n-x_ny } + \betrag { x_ny-xy }
}
{ =} { \betrag { x_n } \betrag { y_n-y } + \betrag { y } \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {C \frac{ \epsilon}{2C} + C \frac{ \epsilon}{2C}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
Für die anderen Teile siehe
Aufgabe *****,
Aufgabe *****
und
Aufgabe *****.
\zwischenueberschrift{Cauchy-Folgen}
Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen noch gar nicht kennt. Wenn man beispielsweise die durch das babylonische Wurzelziehen konstruierte Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{}
\zusatzklammer {sagen wir zur Berechnung von $\sqrt{5}$} {} {}
mit einem rationalen Startwert betrachtet, so ist dies eine Folge aus rationalen Zahlen. Wenn wir diese Folge in $R$ betrachten, wo $\sqrt{5}$ existiert, so ist die Folge konvergent. Innerhalb der rationalen Zahlen ist sie aber definitiv nicht konvergent. Es ist wünschenswert, allein innerhalb der rationalen Zahlen den Sachverhalt formulieren zu können, dass die Folgenglieder beliebig nahe zusammenrücken, auch wenn man nicht sagen kann, dass die Folgenglieder einem Grenzwert beliebig nahe zustreben. Dazu dient der Begriff der Cauchy-Folge.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Augustin_Louis_Cauchy.JPG} }
\end{center}
\bildtext {Augustin Louis Cauchy (1789-1857)} }
\bildlizenz { Augustin Louis Cauchy.JPG } {} {Anarkman} {Commons} {PD} {}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} heißt \definitionswort {Cauchy-Folge}{,} wenn folgende Bedingung erfüllt ist
Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_0
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x_m }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/Konvergente Folge ist Cauchyfolge/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Jede
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}}
\faktfolgerung {ist eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine konvergente Folge mit Grenzwert $x$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wir wenden die Konvergenzeigenschaft auf
\mathl{\epsilon/2}{} an. Daher gibt es ein $n_0$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon/2 \text{ für alle } n \geq n_0} { . }
Für beliebige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt dann aufgrund der Dreiecksungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { x_n-x_m }
}
{ \leq} { \betrag { x_n-x } + \betrag { x-x_m }
}
{ \leq} { \epsilon/2 + \epsilon/2
}
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
}
{}{}{.} Also liegt eine Cauchy-Folge vor.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{.}
Zu jeder
\definitionsverweis {streng wachsenden}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbele {} {\N} {\N
} {i} {n_i
} {,}
heißt die Folge
\mathdisp {i \mapsto x_{n_i}} { }
eine \definitionswort {Teilfolge}{} der Folge.
}
\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {wachsende}{}{,}
\definitionsverweis {nach oben beschränkte}{}{}
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine obere Schranke, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \leq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle Folgenglieder $x_n$. Wir nehmen an, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} keine Cauchy-Folge ist. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass es für jedes $n_0$ Indizes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ > }{m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n-x_m
}
{ \geq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt
\zusatzklammer {wir können die Betragstriche weglassen} {} {.}
Wegen der Monotonie gibt es dann auch zu jedem $n_0$ ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ > }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n-x_{n_0}
}
{ \geq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir können daher induktiv eine wachsende Folge von natürlichen Zahlen definieren durch
\mathdisp {n_1 > n_0 \text{ so, dass } x_{n_1} - x_{n_0} \geq \epsilon} { , }
\mathdisp {n_2 > n_1 \text{ so, dass } x_{n_2} - x_{n_1} \geq \epsilon} { , }
etc. Andererseits gibt es aufgrund des
\definitionsverweis {Archimedesaxioms}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{k \epsilon
}
{ >} { b-x_{n_0}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Summe der ersten $k$ Differenzen der
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
\mathbed {x_{n_j}} {}
{j \in \N} {}
{} {} {} {,}
ergibt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{x_{n_k}-x_{n_0}
}
{ =} { { \left( x_{n_k} - x_{n_{k-1} } \right) } + { \left( x_{n_{k-1} } - x_{n_{k-2} } \right) } + \cdots + { \left( x_{n_{2} } - x_{n_{1} } \right) } + { \left( x_{n_{1} } - x_{n_{0} } \right) }
}
{ \geq} { k \epsilon
}
{ >} { b-x_{n_0}
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Dies impliziert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_{n_k}
}
{ > }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Widerspruch zur Voraussetzung, dass $b$ eine obere Schranke der Folge ist.
\zwischenueberschrift{Die Vollständigkeit der reellen Zahlen}
\inputaxiom
{}
{
Die reellen Zahlen $\R$ sind ein \definitionsverweis {vollständiger}{}{} \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.}
}
Damit haben wir alle Axiome der reellen Zahlen zusammengetragen: die Körperaxiome, die Anordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom. Diese Eigenschaften legen die reellen Zahlen eindeutig fest, d.h. wenn es zwei Modelle $\R_1$ und $\R_2$ gibt, die beide für sich genommen diese Axiome erfüllen, so kann man eine bijektive Abbildung von $\R_1$ nach $\R_2$ angeben, der alle mathematischen Strukturen erhält \zusatzklammer {sowas nennt man einen \anfuehrung{Isomorphismus}{}} {} {.}
Die Existenz der reellen Zahlen ist nicht trivial. Vom naiven Standpunkt her kann man, und das haben wir bisher getan und werden wir auch weiterhin tun, die Vorstellung einer \anfuehrung{kontinuierlichen Zahlengerade}{} zugrunde legen, und dies als Existenznachweis akzeptieren. In einer strengeren mengentheoretischen Begründung der Existenz geht man von $\Q$ aus und konstruiert die reellen Zahlen als die Menge der Cauchy-Folgen in $\Q$ mit einer geeigneten Identifizierung.
\zwischenueberschrift{Folgerungen aus der Vollständigkeit}
{Reelle Zahlen/Folge/Beschränkt monoton/Konvergiert/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Eine
\definitionsverweis {beschränkte}{}{}
und
\definitionsverweis {monotone}{}{}
\definitionsverweis {Folge}{}{} in $\R$}
\faktfolgerung {\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{Nach Voraussetzung ist die Folge wachsend und nach oben beschränkt oder fallend und nach unten beschränkt. Nach Lemma 13.7
Diese Aussage ist auch die Grundlage dafür, dass die Dezimalentwicklung stets eine
\zusatzklammer {eindeutige} {} {}
reelle Zahl definiert. Eine
\zusatzklammer {unendliche} {} {}
Dezimalentwicklung
\mathdisp {a,a_{-1} a_{-2} a_{-3} \ldots} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wir beschränken uns auf nichtnegative Zahlen} {} {}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{-n}
}
{ \in }{ \{0 , \ldots , 9\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nämlich die Folge der rationalen Zahlen
\mathdisp {x_0 \defeq a,\, x_1 \defeq a + a_{-1} \cdot { \frac{ 1 }{ 10 } } ,\, x_2 \defeq a + a_{-1} \cdot { \frac{ 1 }{ 10 } }+ a_{-2} \cdot \left({ \frac{ 1 }{ 10 } }\right)^2 ,\, \rm{etc}.} { }
Diese ist offenbar monoton wachsend. Wir werden in der nächsten Vorlesung sehen, dass sie nach oben beschränkt ist
\zusatzklammer {beispielsweise durch \mathlk{a+1}{}} {} {,}
so dass dadurch in der Tat eine reelle Zahl definiert wird.
\inputfaktbeweis
{Reelle Zahlen/Beschränkte Teilmenge hat Supremum/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Jede nichtleere
\definitionsverweis {nach oben beschränkte}{}{}
Teilmenge der reellen Zahlen}
\faktfolgerung {besitzt ein
\definitionsverweis {Supremum}{}{}
in $\R$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{M \subseteq \R}{} eine nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge. Es sei
\mathl{x_0 \in M}{} und $y_0$ eine obere Schranke für $M$, d.h. es ist
\mathl{x \leq y_0}{} für alle
\mathl{x \in M}{.} Wir konstruieren zwei Folgen
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {,}
wobei
\mathl{x_n \in M}{}
wachsend,
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} fallend ist und jedes $y_n$ eine obere Schranke von $M$ ist
\zusatzklammer {so dass insbesondere
\mathl{x_n \leq y_n}{} für alle $n$ ist} {} {,}
und so, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge ist. Dabei gehen wir induktiv vor, d.h. die beiden Folgen seien bis $n$ bereits definiert und erfüllen die gewünschten Eigenschaften. Wir setzen
\mathdisp {x_{n+1} \defeq \begin{cases}
x_n,\, \text{ falls } [ \frac{x_n+ y_n}{2}, y_n] \cap M = \emptyset \, , \\
\text{ein beliebiger Punkt aus } [ \frac{x_n+ y_n}{2}, y_n] \cap M \text{ sonst}\, . \end{cases}} { }
und
\mathdisp {y_{n+1} \defeq \begin{cases}
\frac{x_n+ y_n}{2} ,\, \text{ falls } [ \frac{x_n+ y_n}{2}, y_n] \cap M = \emptyset \, , \\
y_n \text{ sonst} \, . \end{cases}} { }
Dies erfüllt die gewünschten Eigenschaften, und es ist
\mathdisp {y_n -x_n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n (y_0-x_0)} { , }
da in beiden Fällen der Abstand zumindest halbiert wird. Da die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} wachsend und nach oben beschränkt ist, handelt es sich nach
Lemma 13.7
um eine Cauchy-Folge. Wegen der
\definitionsverweis {Vollständigkeit}{}{}
besitzt die konstruierte Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} einen Grenzwert $x$. Ebenso ist die fallende Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{,} die nach unten beschränkt ist, eine Cauchy-Folge mit demselben Grenzwert $x$. \teilbeweis {}{}{}
{ Wir behaupten, dass dieses $x$ das Supremum von $M$ ist. Wir zeigen zuerst, dass $x$ eine obere Schranke von $M$ ist. Es sei dazu
\mathl{z>x}{} angenommen für ein
\mathl{z \in M}{.} Da die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ konvergiert, gibt es insbesondere ein $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \leq} {y_n
}
{ <} {z
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
im Widerspruch dazu, dass jedes $y_n$ eine obere Schranke von $M$ ist.}
{}\teilbeweis { Für die Supremumseigenschaft müssen wir zeigen, dass $x$ kleiner oder gleich jeder oberen Schranke von $M$ ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Es sei dazu $u$ eine obere Schranke von $M$ und nehmen wir an, dass
\mathl{x>u}{} ist. Da
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ konvergiert, gibt es wieder ein $n$ mit
\mathdisp {u<x_n \leq x} { }
im Widerspruch dazu, dass $u$ eine obere Schranke ist.}
{\leerzeichen{}Also liegt wirklich das Supremum vor.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ x \in \R_{\geq 0} \mid x^k \leq a \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Menge ist wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht leer und
\definitionsverweis {nach oben beschränkt}{}{}
\zusatzklammer {bei \mathlk{a \leq 1}{} ist $1$ eine obere Schranke, sonst ist $a$ eine obere Schranke} {} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{ {\operatorname{sup} \, ( M ) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das es nach
Satz 13.10
geben muss. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s^k
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. $s$ ist eine $k$-te Wurzel von $a$, da sowohl die Annahme
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s^k
}
{ < }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als auch die Annahme
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s^k
}
{ > }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
zu einem Widerspruch führt, siehe Aufgabe *****.
}
\zwischenueberschrift{Intervallschachtelungen}
\inputdefinition
{}
{
Eine Folge von
\definitionsverweis {abgeschlossenen Intervallen}{}{}
\mathdisp {I_n =[a_n ,b_n], \, n \in \N} { , }
in $\R$ heißt eine \definitionswort {Intervallschachtelung}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_{n+1}
}
{ \subseteq }{ I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
\mathdisp {{ \left( b_n-a_n \right) }_{ n \in \N }} { , }
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} in $\R$.}
\faktfolgerung {Dann besteht der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 13.3. }
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $\R$ heißt \definitionswort {bestimmt divergent}{} gegen $+ \infty$, wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {x_n \geq s \text{ für alle } n \geq N} { }
gibt.
Sie heißt \definitionswort {bestimmt divergent}{} gegen $- \infty$, wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {x_n \leq s \text{ für alle } n \geq N} { }
gibt.
}
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