Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige durch Induktion nach $n$ unter Verwendung
der partiellen Integration
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 x^m (1-x)^n dx
}
{ =} { { \frac{ m! n! }{ (m+n+1)! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung von Stammfunktionen geht, ist jeweils ein geeigneter Definitionsbereich zu wählen.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\tan x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {x^n \cdot \ln x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {e^{\sqrt{x} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ x^3 }{ \sqrt[5]{ x^4+2} } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ \sin^{ 2 } x }{ \cos^{ 2 } x } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ 1+3 \sqrt[6]{x-2} }{ \sqrt[3]{(x-2)^2} - \sqrt{x-2} } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {( \ln ( 1+ \sin x ) ) \cdot \sin x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Funktion
\mathdisp {a \longmapsto \int_{ -1 }^{ 2 } at^2-a^2t \, d t} { }
ein
\definitionsverweis {Maximum}{}{}
oder ein
\definitionsverweis {Minimum}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Nach neuesten Studien zur Aufnahmefähigkeit von durchschnittlichen Studierenden wird die Aufmerksamkeitskurve am Tag durch
\maabbeledisp {} {[8,18]} {\R
} {x} {f(x) = -x^2+25x-100
} {,}
beschrieben. Dabei ist $x$ die Zeit in Stunden und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aufnahmefähigkeit in Mikrocreditpoints pro Sekunde. Wann muss man eine ein einhalb stündige Vorlesung ansetzen, damit die Gesamtaufnahme optimal ist? Wie viele Mikrocreditpoints werden dann in dieser Vorlesung aufgenommen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und es sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} $F$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $F$ und es seien
\mathl{b,c \in \R}{.} Bestimme eine Stammfunktion der Funktion
\mathdisp {(bt+c) \cdot f(t)} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
der Funktion
\maabbeledisp {} {\R_+} {\R_+
} {x} {x^{1/n}
} {,}
unter Verwendung der Stammfunktion von $x^n$ und
Satz 20.4.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} des \definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{} unter Verwendung der Stammfunktion seiner Umkehrfunktion.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {[c,d]
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{,}
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Man beweise die
Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion,
indem man für das Integral
\mathdisp {\int_c^d f^{-1}(y) dy} { }
die
Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durchführt und anschließend
partiell integriert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \sqrt{\pi} } x \sin x^2 \, d x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Begründe den Zusammenhang
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_1^{ab} { \frac{ 1 }{ x } } dx
}
{ =} { \int_1^{a} { \frac{ 1 }{ x } } dx + \int_1^{b} { \frac{ 1 }{ x } } dx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{a,b \in \R_+}{} allein mit der Hilfe von Integrationsregeln.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
\mathdisp {\sqrt{3x^2+5x-4}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das bestimmte Integral zur Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x) = 2x^3 +3e^x - \sin x
} {,}
über
\mathl{[-1,0]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
zur Funktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {f(x) = \sqrt{x} - { \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } } + { \frac{ 1 }{ 2x+3 } } -e^{-x}
} {,}
über
\mathl{[1,4]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Wurst.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Wurst.png } {} {Benutzer: Rainer_Bielefeld} {Wikipedia.de} {GFDL} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Clusterförmige Anordnung.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Clusterförmige Anordnung.png } {} {Benutzer: Rainer_Bielefeld} {Wikipedia.de} {GFDL} {}
Bestimme die Flächeninhalte der beiden rechts skizzierten, durch die blauen Kurven umrandeten Gebiete.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {x^3 \cdot \cos x -x^2 \cdot \sin x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\arcsin x} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {\sin ( \ln x)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
für die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\mathdisp {e^x \cdot { \frac{ x^2+1 }{ (x+1)^2 } }} { . }
}
{} {Tipp: Man schreibe das Zählerpolynom unter Verwendung des Nennerpolynoms.}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und es sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
$F$. Es sei $G$ eine Stammfunktion von $F$ und $H$ eine Stammfunktion von $G$. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme eine Stammfunktion der Funktion
\mathdisp {{ \left( at^2+bt+c \right) } \cdot f(t)} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Funktion.Flaechenvariation.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Funktion.Flaechenvariation.png } {M. Gausmann} {} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Es sei
\maabbdisp {f} {[0,1]} {\R_+
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ [0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt der Flächeninhalt der schraffierten Fläche ein
\definitionsverweis {lokales Extremum}{}{?}
Handelt es sich dabei um ein Minimum oder um ein Maximum?
}
{} {}