Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 28/latex

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\setcounter{section}{28}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} zur \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 7 & 4 & 2 \\3 & 7 & 5 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,} die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}} { }
über ${\mathbb C}$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten \definitionsverweis {Basis}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } (\lambda) }
{ =} { \det \left( \lambda E_{ n } - M \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt\zusatzfussnote {Die Hauptschwierigkeit bei dieser Aufgabe ist vermutlich zu erkennen, dass man hier wirklich was zeigen muss} {.} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Wie findet man die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $M$ im \definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{} $\chi_{ M }$ wieder?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} der sogenannten \stichwort {Begleitmatrix} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \ldots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } }
{ =} { X^n +a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 X+a_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} von $M$. }{Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von $M$ und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus. }{Begründe, dass das charakteristische Polynom von $M$ zumindest zwei reelle Nullstellen hat. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $\lambda$ eine Nullstelle des Polynoms
\mathdisp {X^3+2X^2-2} { . }
Zeige, dass
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ (1+\lambda)^3 } } \\ { \frac{ 1 }{ (1+\lambda)^2 } }\\ { \frac{ 1 }{ (1+\lambda) } }\\1 \end{pmatrix}} { }
ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ ist.

}
{} {}

Zur Lösung der folgenden Aufgabe ist neben den beiden vorstehenden Aufgaben auch Aufgabe 24.30 hilfreich.


\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {\Psi} {\R_{\geq 0}^4} { \R_{\geq 0}^4 } {,} die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Zeige, dass es Zahlentupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} gibt, für die bei beliebig vielen Iterationen der Abbildung nie das Nulltupel erreicht wird.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & 0 \\8 & 0 & 5 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebenen linearen Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {v} {Mv } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3 } {,} die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2+ { \mathrm i} \\ 0 & { \mathrm i} & 1+ { \mathrm i} \\0 & 0 & -1+2 { \mathrm i} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A }
{ =} { \begin{pmatrix} -4 & 6 & 6 \\ 0 & 2 & 0 \\-3 & 3 & 5 \end{pmatrix} }
{ \in} { \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne: \aufzaehlungvier{die Eigenwerte von $A$

}{die zugehörigen Eigenräume; }{die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte; }{eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Eigenraum}{}{} und die \definitionsverweis {geometrische Vielfachheit}{}{} zu
\mathl{-2}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 5 & 0 & 7 \\9 & 3 & 8 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
über $\Q$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} mit $n$ \zusatzklammer {paarweise} {} {} verschiedenen \definitionsverweis {Eigenwerten}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $M$ das Produkt der Eigenwerte ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1 }
{ \leq }{ m }
{ \leq }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Man gebe Beispiele für $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} $M$ derart, dass $a$ ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} zu $M$ ist mit der \definitionsverweis {algebraischen Vielfachheit}{}{} $n$ und der \definitionsverweis {geometrischen Vielfachheit}{}{} $m$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, welche der folgenden elementargeometrischen Abbildungen linear, welche diagonalisierbar und welche trigonalisierbar sind. \aufzaehlungvier{Die Achsenspiegelung durch die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 4x-7y }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebene Achse. }{Die Verschiebung um den Vektor
\mathl{\left( 5 , \, -3 \right)}{.} }{Die Drehung um $30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung. }{Die Punktspiegelung mit dem Punkt
\mathl{(1,0)}{} als Zentrum. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 7 & -3 \\ 2 & 7 & 5 \\0 & 0 & -6 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {} werde bezüglich der \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine \definitionsverweis {Basis}{}{,} bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.

}
{} {}

Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann heißt ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionswortpraemath {\varphi}{ invariant }{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(U) }
{ \subseteq} { U }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige folgende Eigenschaften. \aufzaehlungfuenf{Der \definitionsverweis {Nullraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.} }{
\mathl{V}{} ist $\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.} }{\definitionsverweis {Eigenräume}{}{} sind $\varphi$-invariant. }{Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2 }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} $\varphi$-invariante Unterräume. Dann sind auch
\mathl{U_1 \cap U_2}{} und
\mathl{U_1 + U_2}{} $\varphi$-invariant. }{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\varphi$-invarianter Unterraum. Dann sind auch der \definitionsverweis {Bild\-raum}{}{}
\mathl{\varphi(U)}{} und der \definitionsverweis {Urbildraum}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(U)}{} $\varphi$-invariant. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass der kleinste $\varphi$-\definitionsverweis {invariante Unterraum}{}{} von $V$, der $v$ enthält, gleich
\mathdisp {\langle \varphi^n(v) ,\, n \in \N \rangle} { }
ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U }
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \text{ es gibt ein } n \in \N \text{ mit } \varphi^n(v) = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Teilmenge von $V$ ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Unterraum}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$, bezüglich der die Matrix zur \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{} sei. Zeige, dass die \definitionsverweis {erzeugten Untervektorräume}{}{}
\mathdisp {\langle v_1 , \ldots , v_i \rangle} { }
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{} für jedes $i$ sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -4 & -1 & -2 & 3 \\ 6 & 7 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 6 & 2 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Berechne das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} zur \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & 8 & 5 \\ 4 & 7 & 1 \\2 & -4 & 5 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{,} die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}} { }
über ${\mathbb C}$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3 } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ mindestens einen \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} {\begin{pmatrix} -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\-4 & 0 & 6 \end{pmatrix} }
{ \in} { \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne: \aufzaehlungvier{die Eigenwerte von $A$

}{die zugehörigen Eigenräume; }{die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte; }{eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{3 \times 3}(\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {algebraischen}{}{} und \definitionsverweis {geometrischen}{}{} Vielfachheiten für die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & -4 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 7 & 9 & 8 \\ 6 & 2 & -7 \end{pmatrix}} { }
über $\R$ \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 5 & 6 & 2 \\ 5 & 7 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 9 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}