Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 28

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}2& 5& 3\\ 7& 4& 2\\ 3& 7& 5\end{array}\right).$

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

$\left(\begin{array}{cc}5& 7\\ 3& 4\end{array}\right)$

über $ℂ$.

Aufgabe *

Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung $\phi :V\to V$ auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Zeige, dass für jedes  $\lambda \in K$  die Beziehung

${\chi }_M(\lambda )=det(\lambda E_n-M)$

gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Wie findet man die Determinante von $M$ im charakteristischen Polynom ${\chi }_M$ wieder?

Aufgabe

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

$M=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0& 1\\ -a_0& -a_1& \dots & -a_{n-2}& -a_{n-1}\end{array}\right)$

gleich

${\chi }_M=X^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$

ist.

Aufgabe *

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& 0& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& -1& 1\\ -1& 0& 0& 1\end{array}\right).$

a) Bestimme das charakteristische Polynom von $M$.

b) Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von $M$ und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.

c) Begründe, dass das charakteristische Polynom von $M$ zumindest zwei reelle Nullstellen hat.

Aufgabe *

Es sei $\lambda$ eine Nullstelle des Polynoms

$X^3+2X^2-2.$

Zeige, dass

$\left(\begin{array}{c}\frac{1}{(1+\lambda {)}^3}\\ \frac{1}{(1+\lambda {)}^2}\\ \frac{1}{(1+\lambda )}\\ 1\end{array}\right)$

ein Eigenvektor der Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& 0& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& -1& 1\\ -1& 0& 0& 1\end{array}\right)$

zum Eigenwert $\lambda$ ist.

Zur Lösung der folgenden Aufgabe ist neben den beiden vorstehenden Aufgaben auch Aufgabe 24.30 hilfreich.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi :{ℝ}_{\ge 0}^4⟶{ℝ}_{\ge 0}^4,$

die einem Vierertupel $(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(|b-a|,|c-b|,|d-c|,|a-d|)$

zuordnet. Zeige, dass es Zahlentupel $(a,b,c,d)$ gibt, für die bei beliebig vielen Iterationen der Abbildung nie das Nulltupel erreicht wird.

Aufgabe *

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 5\\ 0& -1& 0\\ 8& 0& 5\end{array}\right)$

gegebenen linearen Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3,v⟼Mv.$

Aufgabe *

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\phi :{ℂ}^3⟶{ℂ}^3,$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -2+\mathrm{i}\\ 0& \mathrm{i}& 1+\mathrm{i}\\ 0& 0& -1+2\mathrm{i}\end{array}\right)$

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für $\phi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

Aufgabe

Es sei

$A=\left(\begin{array}{ccc}-4& 6& 6\\ 0& 2& 0\\ -3& 3& 5\end{array}\right)\in {\mathrm{Mat}}_{3\times 3}(ℝ).$

Berechne:

1. die Eigenwerte von $A$;
2. die zugehörigen Eigenräume;
3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
4. eine Matrix  $C\in {\mathrm{Mat}}_{3\times 3}(ℝ)$  derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe

Bestimme den Eigenraum und die geometrische Vielfachheit zu $-2$ zur Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 5& 0& 7\\ 9& 3& 8\end{array}\right).$

Aufgabe *

Zeige, dass die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

über $\mathbb{Q}$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe *

Es sei  $M\in {\mathrm{Mat}}_n(K)$  eine Matrix mit $n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von $M$ das Produkt der Eigenwerte ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper,  $a\in K$  und  $m,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  mit  $1\le m\le n$.  Man gebe Beispiele für $n\times n$-Matrizen $M$ derart, dass $a$ ein Eigenwert zu $M$ ist mit der algebraischen Vielfachheit $n$ und der geometrischen Vielfachheit $m$.

Aufgabe *

Bestimme, welche der folgenden elementargeometrischen Abbildungen linear, welche diagonalisierbar und welche trigonalisierbar sind.

1. Die Achsenspiegelung durch die durch  $4x-7y=0$  gegebene Achse.
2. Die Verschiebung um den Vektor $(5,-3)$.
3. Die Drehung um $30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
4. Die Punktspiegelung mit dem Punkt $(1,0)$ als Zentrum.

Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}4& 7& -3\\ 2& 7& 5\\ 0& 0& -6\end{array}\right)$

trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Eine lineare Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 0& 3\end{array}\right)$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der $\phi$ durch die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$

beschrieben wird.

Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum  $U\subseteq V$  $\phi$-invariant, wenn

$\phi (U)\subseteq U$

gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.

1. Der Nullraum  $0\subseteq V$  ist $\phi$-invariant.
2. $V$ ist $\phi$-invariant.
3. Eigenräume sind $\phi$-invariant.
4. Es seien  $U_1,U_2\subseteq V$  $\phi$-invariante Unterräume. Dann sind auch $U_1\cap U_2$ und $U_1+U_2$ $\phi$-invariant.
5. Es sei  $U\subseteq V$  ein $\phi$-invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum $\phi (U)$ und der Urbildraum ${\phi }^{-1}(U)$ $\phi$-invariant.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung und  $v\in V$.  Zeige, dass der kleinste $\phi$-invariante Unterraum von $V$, der $v$ enthält, gleich

$⟨{\phi }^n(v),n\in \mathbb{N}⟩$

ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

$U=\{v\in V\mid \text{ es gibt ein }n\in \mathbb{N}\text{ mit }{\phi }^n(v)=0\}$

definierte Teilmenge von $V$ ein $\phi$-invarianter Untervektorraum ist.

Aufgabe

Es sei $v_1,\dots ,v_n$ eine Basis von $V$, bezüglich der die Matrix zur linearen Abbildung

$\phi :V⟶V$

eine obere Dreiecksmatrix sei. Zeige, dass die erzeugten Untervektorräume

$⟨v_1,\dots ,v_i⟩$

$\phi$-invariant für jedes $i$ sind.

Aufgabe *

Bestimme, ob die reelle Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}-4& -1& -2& 3\\ 6& 7& 7& 1\\ 0& 0& 3& -2\\ 0& 0& 6& 2\end{array}\right)$

trigonalisierbar ist oder nicht.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}-3& 8& 5\\ 4& 7& 1\\ 2& -4& 5\end{array}\right).$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

$\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ 5& 4\end{array}\right)$

über $ℂ$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ mindestens einen Eigenvektor besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$A=\left(\begin{array}{ccc}-5& 0& 7\\ 6& 2& -6\\ -4& 0& 6\end{array}\right)\in {\mathrm{Mat}}_{3\times 3}(ℝ).$

Berechne:

1. die Eigenwerte von $A$;
2. die zugehörigen Eigenräume;
3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
4. eine Matrix  $C\in {\mathrm{Mat}}_{3\times 3}(ℝ)$  derart, dass $C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für jedes  $\lambda \in \mathbb{Q}$  die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 0& -1& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right).$

Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}5& -1& 3\\ 7& 9& 8\\ 6& 2& -7\end{array}\right)$

über $ℝ$ trigonalisierbar ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}1& 5& 6& 2\\ 5& 7& -4& -3\\ 0& 0& -2& 8\\ 0& 0& 1& 9\end{array}\right)$

trigonalisierbar ist oder nicht.

Fußnoten