Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 28

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix


Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

über .


Aufgabe *

Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zeige, dass für jedes die Beziehung

gilt.[1]


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Wie findet man die Determinante von im charakteristischen Polynom wieder?


Aufgabe

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

gleich

ist.


Aufgabe *

Es sei

  1. Bestimme das charakteristische Polynom von .
  2. Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
  3. Begründe, dass das charakteristische Polynom von zumindest zwei reelle Nullstellen hat.


Aufgabe *

Es sei eine Nullstelle des Polynoms

Zeige, dass

ein Eigenvektor der Matrix

zum Eigenwert ist.


Zur Lösung der folgenden Aufgabe ist neben den beiden vorstehenden Aufgaben auch Aufgabe 24.30 hilfreich.

Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Zeige, dass es Zahlentupel gibt, für die bei beliebig vielen Iterationen der Abbildung nie das Nulltupel erreicht wird.


Aufgabe *

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe *

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.


Aufgabe

Sei

Berechne:

  1. die Eigenwerte von ;
  2. die zugehörigen Eigenräume;
  3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
  4. eine Matrix derart, dass eine Diagonalmatrix ist.


Aufgabe

Bestimme den Eigenraum und die geometrische Vielfachheit zu zur Matrix


Aufgabe *

Zeige, dass die Matrix

über diagonalisierbar ist.


Aufgabe *

Es sei

eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von das Produkt der Eigenwerte ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, und mit . Man gebe Beispiele für -Matrizen derart, dass ein Eigenwert zu ist mit der algebraischen Vielfachheit und der geometrischen Vielfachheit .


Aufgabe *

Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche diagonalisierbar und welche trigonalisierbar sind.

  1. Die Achsenspiegelung durch die durch gegebene Achse.
  2. Die Verschiebung um den Vektor .
  3. Die Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
  4. Die Punktspiegelung mit dem Punkt als Zentrum.


Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.


Aufgabe

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum -invariant, wenn

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.

  1. Der Nullraum ist -invariant.
  2. ist -invariant.
  3. Eigenräume sind -invariant.
  4. Seien -invariante Unterräume. Dann sind auch und -invariant.
  5. Sei ein -invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum und der Urbildraum -invariant.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung und . Zeige, dass der kleinste -invariante Unterraum von , der enthält, gleich

ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

definierte Teilmenge von ein -invarianter Unterraum

ist.


Aufgabe

Es sei eine Basis von , bezüglich der die Matrix zur linearen Abbildung

eine obere Dreiecksmatrix sei. Zeige, dass die erzeugten Untervektorräume

-invariant für jedes sind.


Aufgabe *

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

über .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass mindestens einen Eigenvektor besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei

Berechne:

  1. die Eigenwerte von ;
  2. die zugehörigen Eigenräume;
  3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
  4. eine Matrix derart, dass eine Diagonalmatrix ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für jedes die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix


Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die Matrix

über trigonalisierbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.




Fußnoten
  1. Die Hauptschwierigkeit bei dieser Aufgabe ist vermutlich zu erkennen, dass man hier wirklich was zeigen muss.


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