Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 28

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix


Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

über .


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zeige, dass für jedes die Beziehung

gilt.[1]


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Wie findet man die Determinante von im charakteristischen Polynom wieder?


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von und ein Polynom. Zeige, dass ein Eigenwert von[2] ist.


Aufgabe *

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.


Aufgabe

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

gleich

ist.


Aufgabe

Sei

Berechne:

  1. die Eigenwerte von ;
  2. die zugehörigen Eigenräume;
  3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
  4. eine Matrix derart, dass eine Diagonalmatrix ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, und mit . Man gebe Beispiele für -Matrizen derart, dass ein Eigenwert zu ist mit der algebraischen Vielfachheit und der geometrischen Vielfachheit .


Aufgabe

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.


Aufgabe

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum -invariant, wenn

gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.

  1. Der Nullraum ist -invariant.
  2. ist -invariant.
  3. Eigenräume sind -invariant.
  4. Seien -invariante Unterräume. Dann sind auch und -invariant.
  5. Sei ein -invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum und der Urbildraum -invariant.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung und . Zeige, dass der kleinste -invariante Unterraum von , der enthält, gleich

ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

definierte Teilmenge von ein -invarianter Unterraum

ist.


Aufgabe

Es sei eine Basis von , bezüglich der die Matrix zur linearen Abbildung

eine obere Dreiecksmatrix sei. Zeige, dass die erzeugten Untervektorräume

-invariant für jedes sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

über .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei

Berechne:

  1. die Eigenwerte von ;
  2. die zugehörigen Eigenräume;
  3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
  4. eine Matrix derart, dass eine Diagonalmatrix ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für jedes die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass mindestens einen Eigenvektor besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die Matrix

über trigonalisierbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.


Aufgabe (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.




Fußnoten
  1. Die Hauptschwierigkeit bei dieser Aufgabe ist vermutlich zu erkennen, dass man hier wirklich was zeigen muss.
  2. Der Ausdruck bedeutet, dass man die lineare Abbildung in das Polynom einsetzt. Dabei muss man als , also als die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst, interpretieren, die Addition wird zur Addition von linearen Abbildungen, u.s.w.


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