Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/10/Stetige Abbildung von N/Studentenfrage/Antwort

Für die Definitionsmenge ${}D\subseteq \mathbb {R}$ von ${}f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ in der Definition von Stetigkeit sind alle Teilmengen von ${}\mathbb {R}$ zugelassen, also auch ${}\mathbb {N}$, das ist also schonmal eine sinnvolle Frage.

Die Teilmenge ${}\mathbb {N}$ hat die besondere Eigenschaft, dass um jedes Element darin eine Umgebung (ein Intervall positiver Länge) gefunden werden kann, welche kein weiteres Element in ${}\mathbb {N}$ enthält, nämlich zum Beispiel ${}\left[x-{\frac {1}{2}},x+{\frac {1}{2}}\right]$. Mengen mit dieser Eigenschaft nennen wir diskret.

Das führt dazu, dass wir in der Überprüfung der Stetigkeit einer beliebigen Funktion ${}f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem beliebigen Punkt ${}x\in \mathbb {N}$ zu einem beliebigen ${}\epsilon >0$ immer ${}\delta ={\frac {1}{2}}$ wählen können. Alle Punkte in dieser ${}\delta$- Umgebung sind nur genau ${}x$, daher ist die Differenz der Bildwerte 0. Wir haben also festgestellt, dass jede Abbildung ${}f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$ stetig ist.

Zur beantworteten Studentenfrage