Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/10

Antworten zu Fragen zur Vorlesung

Studentenfrage

Ich habe dieser Begriff 'sei A eine Teilmenge von reellen Zahlen' mehrmals in dierer Vorlesung gesehen, bin aber nicht sicher über die Interpretation.

Was ich verstehe ist, dass die Teilmenge die Definitionsbereich der Funktion ist, und die folgende Definition gilt nur für Abbildungen aus die Definitionsmenge und gilt nicht für Abbildungen von Werten außer der Definitionsbereich.

Habe ich das richtig versteht?

Antwort

Ich denke deine Frage bezieht sich auf die folgende Formulierung:

„Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion und ${}x\in D$.“

Hier ist ${}D$ in der Tat der Definitionsbereich von ${}f$. Das heißt, dass die Funktion ${}f$ für jedes Element ${}x\in D$ einen Funktionswert definiert, außerhalb von ${}D$ ist das Verhalten nicht definiert.

Deine Aussage

„Die folgende Definition gilt nur für Abbildungen aus die Definitionsmenge und gilt nicht für Abbildungen von Werten außer der Definitionsbereich.“

verstehe ich nicht. Jede Abbildung muss einen Definitionsbereich haben (in der obigen Situation ist das ${}D$). Andere Abbildungen können natürlich einen anderen Definitionsbereich haben. In unserem Fall wollen wir Eigenschaften definieren oder nutzen, die sich auf ${}f$ beziehen. Also haben andere Abbildungen erstmal nichts damit zu tun.

Studentenfrage

Wenn die Funktion ${}f(x)={\frac {2}{x}}$ gegeben ist, kann ich die ${}0$ aus dem Definitionsbereich nehmen und dann darf ich die Funktion als stetig bezeichnen?

Antwort

Das was du angegeben hast ist nur eine Funktionsvorschrift, keine Funktion. Zu einer Funktion gehört ihr Definitionsbereich. Bei vielen Funktionen ist ein möglicher Definitionsbereich klar ersichtlich. Wenn klar ist was gemeint ist, kann man bei gutmütigen Lesern auf die Angabe des Definitionsbereiches verzichten. Der größtmögliche Definitionsbereich von ${}f$ innerhalb der reellen Zahlen ist ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$.

Besser als zu sagen, dass wir die ${}0$ aus dem Definitionsbereich herausnehmen, ist also zu sagen, dass der Definitionsbereich die ${}0$ gar nicht erst enthält. Als Funktion

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {2}{x}}$

ist ${}f$ tatsächlich stetig. Dies ist eine Instanz von

Korollar 10.8.

Studentenfrage

Gibt es eine stetige Funktion, wenn wir von den natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ in die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ abbilden? Oder ist das nicht möglich?

Antwort

Für die Definitionsmenge ${}D\subseteq \mathbb {R}$ von ${}f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ in der Definition von Stetigkeit sind alle Teilmengen von ${}\mathbb {R}$ zugelassen, also auch ${}\mathbb {N}$, das ist also schonmal eine sinnvolle Frage.

Die Teilmenge ${}\mathbb {N}$ hat die besondere Eigenschaft, dass um jedes Element darin eine Umgebung (ein Intervall positiver Länge) gefunden werden kann, welche kein weiteres Element in ${}\mathbb {N}$ enthält, nämlich zum Beispiel ${}\left[x-{\frac {1}{2}},x+{\frac {1}{2}}\right]$. Mengen mit dieser Eigenschaft nennen wir diskret.

Das führt dazu, dass wir in der Überprüfung der Stetigkeit einer beliebigen Funktion ${}f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem beliebigen Punkt ${}x\in \mathbb {N}$ zu einem beliebigen ${}\epsilon >0$ immer ${}\delta ={\frac {1}{2}}$ wählen können. Alle Punkte in dieser ${}\delta$- Umgebung sind nur genau ${}x$, daher ist die Differenz der Bildwerte 0. Wir haben also festgestellt, dass jede Abbildung ${}f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$ stetig ist.

Studentenfrage

Die Umkehrfunktion einer stetigen Funktion, kann doch durchaus unstetig sein, bzw die Umkehrfunktion einer unstetigen Funktion stetig? Oder "überträgt" sich die Stetigkeit einer Funktion?

Antwort

Richtig, die Umkehrabbildung einer stetigen Funktion muss nicht stetig sein. Betrachte zum Beispiel

${}f\colon \mathbb {R} \setminus [0,1[\rightarrow \mathbb {R}$, mit

$f(x)={\begin{cases}x{\text{ für }}x<0\\x-1{\text{ für }}x\geq 1\end{cases}}$

Das ist also eine Funktion die außerhalb des halboffenen Intervalls ${}[0,1[$ definiert ist und in ihrem Definitionsbereich stetig ist. Die Umkehrfunktion ist

${}g:=f^{-1}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \setminus [0,1[$,

$g(x)={\begin{cases}x{\text{ für }}x<0\\x+1{\text{ für }}x\geq 0\end{cases}}$

Die Umkehrfunktion ist also auf ganz ${}\mathbb {R}$ definiert und besitzt in ${}0$ eine Stufe und damit eine Unstetigkeitsstelle.

Für bestimmte Funktionen kann die Umkehrfunktion aber wieder stetig sein. Wir werden noch Satz 11.7 kennenlernen, der uns sagt, dass zu stetigen, streng wachsenden Funktionen auf einem Intervall die Umkehrabbildung stetig ist.

Studentenfrage

In Beispiel 10.3 verstehe ich nicht genau woher das ${}\epsilon$ kommt. Ist das bereits vorgegeben wie in Beispiel 10.2 oder selbst gewählt?

Antwort

In Beispiel 10.2 wird die Stetigkeit einer Funktion gezeigt. Da Stetigkeit in einem Punkt eine Aussage über alle ${}\epsilon >0$ ist nehmen wir ein beliebiges ${}\epsilon >0$ an und zeigen die Aussage dafür.

In Beispiel 10.3 wollen wir hingegen zeigen, dass eine Funktion nicht stetig ist. Also genügt ein Beispiel eines ${}\epsilon >0$ für das die Aussage nicht gilt. Da die Höhe der Stufe der Funktion ${}1$ beträgt, ist es naheliegend, dass wir ein ${}0<\epsilon <1$ wählen.

Dieser Unterschied zwischen den Beispielen ist vergleichbar mit dem Verhalten bei Konvergenz von Folgen wie es in dieser Antwort auf eine Studierendenfrage ausgeführt wurde.

Studentenfrage

I couldn't follow the Beweis of Satz 10.4. Can you explain the logic and the process?

Antwort

We want to prove the equivalence of two statements. The logic of the proof is thus, that first we assume the first statement (1) and deduce the second statement (2). After we have done that we assume the second statement (2) and deduce the first statement (1).

For the direction (1) ${}\Rightarrow$ (2) we directly prove the convergence of the image sequence using the definitions.

For the other direction we assume the negation of (1) and prove the negation of (2) (i.e. we use proof by contraposition) by explicitly constructing a sequence as a counterexample.

Studentenfrage

Frage zu

„

Definition

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}b\in \mathbb {R}$ Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$, wenn für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert, auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$ konvergiert. In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

Dieser Begriff ist eigentlich nur dann sinnvoll, wenn es überhaupt Folgen in ${}T$ gibt, die gegen ${}a$ konvergieren. Eine typische Situation ist die folgende: Es sei ${}I$ ein Intervall, ${}a\in I$ sei ein Punkt darin und es sei ${}T=I\setminus \{a\}$. Die Funktion sei auf ${}T$, aber nicht im Punkt ${}a$ definiert, und es geht um die Frage, inwiefern man ${}f$ zu einer sinnvollen Funktion ${}{\tilde {f}}$ auf ganz ${}I$ fortsetzen kann. Dabei soll ${}{\tilde {f}}(a)$ durch ${}f$ bestimmt sein.“

Was bedeutet in dem Zusammenhang "${}f$ in ${}a$"? Also die Funktion ${}f$ im Punkt ${}a$? Ist die gesamte Definition so zu verstehen, dass ${}a$ der Grenzwert der Folge ist und ${}b$ der Grenzwert der entsprechenden Bildfolge? Was bedeutet in der weiteren Erklärung ${}\{a\}$ und das ${}{\tilde {f}}$?

Antwort

Das als "${}f$ in ${}a$" zu lesen ist falsch. Stattdessen ist der "Grenzwert von ${}f$ in ${}a$" gemeint. Die Funktion ${}f$ ist in ${}a$ im Allgemeinen nicht definiert. Beim Grenzwert der Funktion genügt es nicht eine Folge zu betrachten, sondern wir müssen alle Folgen betrachten, deren Glieder in ${}T$ liegen und die gegen ${}a$ konvergieren. Wenn die Bildfolgen dieser Folgen alle gegen den gleichen Wert ${}b$ konvergieren, dann existiert der Grenzwert von ${}f$ in ${}a$ und ist ${}b$.

Der Grenzwert muss nicht existieren. Es kommt oft vor, dass verschiedene Folgen in ${}T$, die in ${}\mathbb {R}$ gegen ${}a$ konvergieren Bildfolgen haben, die gegen unterschiedliche Werte konvergieren. Ein häufiger Fall ist, dass ${}f$ an ${}a$ eine Stufe besitzt und daher die Bildfolgen zu Folgen in ${}T$, die von rechts gegen ${}a$ konvergieren, gegen einen anderen Wert konvergieren als die Bildfolgen zu Folgen in ${}T$, die von links gegen ${}a$ konvergieren.

Zur Notation: ${}\{a\}$ ist einfach die einelementige Menge die nur aus dem Element ${}a$ besteht. Die Funktion ${}{\tilde {f}}$ bezeichnet wie beschrieben eine Fortsetzung von ${}f$, also eine Funktion, die auf ${}T$ genau wie ${}f$ definiert ist, aber außerdem der Definitionslücke ${}a$ einen sinnvollen Wert zuordnet.

Bemerkungen zu den abgegebenen Aufgaben von Blatt 10

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