Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/10/Umkehrfunktion einer stetigen Funktion/Studentenfrage/Antwort

Richtig, die Umkehrabbildung einer stetigen Funktion muss nicht stetig sein. Betrachte zum Beispiel

${}f\colon \mathbb {R} \setminus [0,1[\rightarrow \mathbb {R}$, mit

$f(x)={\begin{cases}x{\text{ für }}x<0\\x-1{\text{ für }}x\geq 1\end{cases}}$

Das ist also eine Funktion die außerhalb des halboffenen Intervalls ${}[0,1[$ definiert ist und in ihrem Definitionsbereich stetig ist. Die Umkehrfunktion ist

${}g:=f^{-1}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \setminus [0,1[$,

$g(x)={\begin{cases}x{\text{ für }}x<0\\x+1{\text{ für }}x\geq 0\end{cases}}$

Die Umkehrfunktion ist also auf ganz ${}\mathbb {R}$ definiert und besitzt in ${}0$ eine Stufe und damit eine Unstetigkeitsstelle.

Für bestimmte Funktionen kann die Umkehrfunktion aber wieder stetig sein.

Wir werden noch Satz 11.7 kennenlernen, der uns sagt, dass zu stetigen, streng wachsenden Funktionen auf einem Intervall die Umkehrabbildung stetig ist.

Zur beantworteten Studentenfrage