Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/10/f in a/Studentenfrage/Antwort
Das als " in " zu lesen ist falsch. Stattdessen ist der "Grenzwert von in " gemeint. Die Funktion ist in im Allgemeinen nicht definiert. Beim Grenzwert der Funktion genügt es nicht eine Folge zu betrachten, sondern wir müssen alle Folgen betrachten, deren Glieder in liegen und die gegen konvergieren. Wenn die Bildfolgen dieser Folgen alle gegen den gleichen Wert konvergieren, dann existiert der Grenzwert von in und ist .
Der Grenzwert muss nicht existieren. Es kommt oft vor, dass verschiedene Folgen in , die in gegen konvergieren Bildfolgen haben, die gegen unterschiedliche Werte konvergieren. Ein häufiger Fall ist, dass an eine Stufe besitzt und daher die Bildfolgen zu Folgen in , die von rechts gegen konvergieren, gegen einen anderen Wert konvergieren als die Bildfolgen zu Folgen in , die von links gegen konvergieren.
Zur Notation: ist einfach die einelementige Menge die nur aus dem Element besteht. Die Funktion bezeichnet wie beschrieben eine Fortsetzung von , also eine Funktion, die auf genau wie definiert ist, aber außerdem der Definitionslücke einen sinnvollen Wert zuordnet.
