Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 44/latex
\setcounter{section}{44}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle 0 , v \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{v \in V}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, ob die folgenden Abbildungen
\maabbdisp {} {\R^2 \times \R^2} {\R
} {}
\definitionsverweis {Bilinearformen}{}{}
sind.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi(v,w)
}
{ =} { \Vert { v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi(v,w)
}
{ =} { \Vert { v- w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi(v,w)
}
{ =} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi(v,w)
}
{ =} { \angle ( v, w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{} im $\R^2$ bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{} $\begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} -5 \\1 \end{pmatrix}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} zur \definitionsverweis {Determinante}{}{} auf dem $K^2$ bezüglich der \definitionsverweis {Standardbasis}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} genau dann
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{}
ist, wenn es eine Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v_i , v_j \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v_j , v_i \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{ i,j
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass diese Form genau dann
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
von ihr bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} in der Dimension zwei, also die Abbildung \maabbeledisp {} {K^2 \times K^2} {K } {( \begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} )} { x_1y_2 -x_2y_1 } {,} keine \definitionsverweis {symmetrische}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem Vektorraum $V$ geben kann, die nicht die
\definitionsverweis {Nullform}{}{}
ist, für die aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{v \in V}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass $V$ eine
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche, welche der folgenden Abbildungen
\maabb {\varphi} { \R^2 \times \R^2 } { \R
} {}
bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{\varphi(x,y):=x_1y_1}{.}
}{
\mathl{\varphi(x,y):=x_1x_2+y_1y_2}{.}
}{
\mathl{\varphi(x,y):=2x_1y_2 + 3x_2y_1}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$ vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p+q
}
{ \leq} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{,} das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Ein\-schränkung der Form \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist, nicht eindeutig bestimmt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Auf dem $\R^2$ sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} \right\rangle
}
{ =} {x_1x_2 -y_1y_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
gegeben. Bestimme zu jeder Geraden $G$ durch den Nullpunkt, ob die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
der Form auf die Gerade
\definitionsverweis {positiv definit}{}{,} \definitionsverweis {negativ definit}{}{}
oder die
\definitionsverweis {Nullform}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ
\mathl{(p',q')}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p'
}
{ \leq }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q'
}
{ \leq }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $d$-dimensionaler
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ
\mathl{(p',q')}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p'
}
{ \geq} {d+p-n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
\definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{}
$V$ mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf $V$ und einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} von $V$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle u_i , u_i \right\rangle
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, aber
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} nicht
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf $V$. Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
auf $V$ mit der Eigenschaft
\mathl{\left\langle u_i , u_i \right\rangle >0}{} für alle
\mathl{i=1 , \ldots , n}{.} Zeige, dass
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
ist, deren Diagonaleinträge
\mathl{1,-1}{} oder $0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {symmetrische}{}{}
reelle
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
$A$ derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { A^{ \text{tr} } } M A
}
{ =} { D
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
ist, deren Diagonaleinträge $1,-1$ oder $0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$. Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
die
\definitionsverweis {Gramschen Matrizen}{}{}
zu dieser Form bezüglich der Basen $\mathfrak{ u }$ und $\mathfrak{ v }$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
von $G$ genau dann positiv
\zusatzklammer {negativ, $0$} {} {}
ist, wenn dies auf die Determinante von $H$ zutrifft.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der durch die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}} { }
gegebenen
\definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der durch die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 4 & -2 & 3 \\1 & 3 & 5 \end{pmatrix}} { }
gegebenen
\definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme mit
dem Eigenwertkriterium
den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & -4 \\0 & -4 & 2 \end{pmatrix}} { }
gegebenen
\definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf einem zweidimensionalen reellen
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
die bezüglich einer Basis durch die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & b \\ b & c \end{pmatrix}} { }
beschrieben werde. Bestimme den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der Form in Abhängigkeit von
\mathl{b,c}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Untersuche, welche der folgenden Abbildungen
\maabb {\varphi} { \R^2 \times \R^2 } { \R
} {}
\definitionsverweis {bilinear}{}{}
sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften
\definitionsverweis {alternierend}{}{}
und
\definitionsverweis {symmetrisch}{}{.}
\aufzaehlungdrei{
\mathl{\varphi(x,y):= x_1-y_1}{.}
}{
\mathl{\varphi(x,y):= x_1y_1-x_2y_2}{.}
}{
\mathl{\varphi(x,y):= 2x_1y_2-2x_2y_1}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{\Phi}{} eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige, dass für Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1 , \ldots , v_r,w_1 , \ldots , w_s
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Skalare
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_r,b_1 , \ldots , b_s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi( a_1 v_1 + \cdots + a_r v_r, b_1w_1 + \cdots + b_sw_s)
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq r, 1 \leq j \leq s} a_ib_j \Phi(v_i,w_j)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{} im $\R^3$ bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{} $\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 5 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 5 \end{pmatrix}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {symmetrischen}{}{}
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{.} Zeige, dass die negierte Form
\mathl{- \left\langle - , - \right\rangle}{} den Typ
\mathl{(q,p)}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Typ}{}{}
der durch die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 7 & -1 \\ 7 & 5 & 6 \\-1 & 6 & -3 \end{pmatrix}} { }
gegebenen
\definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{.}
}
{} {}