Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 44

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei eine Bilinearform auf einem -Vektorraum . Zeige

für alle .


Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Abbildungen

Bilinearformen sind.


Aufgabe

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im bezüglich der Basis und .


Aufgabe *

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem bezüglich der Standardbasis.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine Bilinearform auf . Zeige, dass genau dann symmetrisch ist, wenn es eine Basis von mit

für alle gibt.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer Bilinearform . Zeige, dass diese Form genau dann symmetrisch ist, wenn die Gramsche Matrix von ihr bezüglich einer Basis symmetrisch ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Determinante in der Dimension zwei, also die Abbildung

keine symmetrische Bilinearform ist.


Aufgabe *

Zeige, dass es eine Bilinearform auf einem Vektorraum geben kann, die nicht die Nullform ist, für die aber

für alle ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass eine Orthogonalbasis besitzt.


Aufgabe

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe

Es sei ein -dimensionaler reeller Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf vom Typ . Zeige, dass

ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer symmetrischen Bilinearform, das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Einschränkung der Form positiv definit ist, nicht eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe

Auf dem sei durch

eine symmetrische Bilinearform gegeben. Bestimme zu jeder Geraden durch den Nullpunkt, ob die Einschränkung der Form auf die Gerade positiv definit, negativ definit oder die Nullform ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit einer Bilinearform vom Typ und es sei ein Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ . Zeige und .


Aufgabe *

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum mit einer Bilinearform vom Typ und es sei ein -dimensionaler Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ . Zeige


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform auf und einer Basis von derart, dass für alle ist, aber nicht positiv definit ist.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform auf . Es sei eine Orthogonalbasis auf mit der Eigenschaft für alle . Zeige, dass positiv definit ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass die Gramsche Matrix zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge oder sind.


Aufgabe

Es sei eine symmetrische reelle -Matrix. Zeige, dass es eine invertierbare Matrix derart gibt, dass

eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge oder sind.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Es seien und die Gramschen Matrizen zu dieser Form bezüglich der Basen und . Zeige, dass die Determinante von genau dann positiv (negativ, ) ist, wenn dies auf die Determinante von zutrifft.


Aufgabe

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

gegebenen symmetrischen Bilinearform.


Aufgabe

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

gegebenen symmetrischen Bilinearform.


Aufgabe *

Bestimme mit dem Eigenwertkriterium den Typ der durch die Matrix

gegebenen symmetrischen Bilinearform.


Aufgabe *

Es sei eine Bilinearform auf einem zweidimensionalen reellen Vektorraum, die bezüglich einer Basis durch die Gramsche Matrix

beschrieben werde. Bestimme den Typ der Form in Abhängigkeit von .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Bilinearform auf einem -Vektorraum . Zeige, dass für Vektoren und Skalare die Gleichheit

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im bezüglich der Basis und .


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform vom Typ . Zeige, dass die negierte Form den Typ besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Typ der durch die Gramsche Matrix

gegebenen symmetrischen Bilinearform.



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