Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Woche 4/Rückmeldung

Rückmeldung zur Abgabe der Woche 4

Bei Aufgabe 37.21 kam es teilweise zu Schwierigkeiten beim Basiswechsel. Bei der Aufgabe ist ${}f$ eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3}$ und der Basiswechsel ist eine lineare Abbildung ${}L\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ vom dreidimensionalen Raum in sich selbst. Dabei ist ${}L$ bezüglich der Standardbasis gegeben durch ${}L(1,0,0)=(1,0,3),L(0,1,0)=(2,4,6),L(0,0,1)=(1,-1,0)$. Zu berechnen ist nun die Hintereinanderschaltung der beiden Abbildungen ${}L\circ f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{3}$. Es muss also ${}L(f(x))$ bestimmt werden, wobei ${}f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x))$ ein Vektor in drei Komponenten ist, die vom Parameter ${}x$ abhängen. Auch ${}L(f(x))$ ist ein Vektor in drei Komponenten, der sich durch die Matrix-Vektor-Multiplikation

$M(L)\cdot f(x)$

ergibt.

Aufgabe 37.26 wurde kaum bearbeitet. Tatsächlich ist es kompliziert, direkt eine explizite Funktionsvorschrift anzugeben. Eine solche Funktion lässt sich aber aus mehreren Bausteinen zusammensetzen. Selbst ohne konkrete Funktionsvorschrift lässt sich nachvollziehen, wie eine solche Kurve aussehen könnte. Klar ist, dass die Kurve mindestens einen 90-Grad-Knick im Ursprung machen muss. Wie wir in Aufgabe 37.20 und dem zugehörigen Kommentar gesehen haben, kann man solche Kurven konstuieren, die zugleich differenzierbar sind. Analog dazu lassen sich auch 180-Grad-Wenden bewerkstelligen. Man denke zum Beispiel an die Kurve ${}(0,\sin(t))$, deren Komponenten offenbar differenzierbar sind und die in den Punkten ${}(0,1),(0,-1)$ wendet. Durch Kombination dieser Bausteine lässt sich dann eine Kurve bauen, die das gesamte Achsenkreuz durchläuft.

Auch Aufgabe 38.21 wurde häufig nicht gelöst. Dabei muss ein recht kompliziertes Integral berechnet werden, was sich aber mit den Methoden, die wir im letzten Semester entwickelt haben, lösen lässt. Eine solche Aufgabe ist eine gute Möglichkeit, den Umgang mit Integration weiter zu üben. Konkret muss die Funktion ${}{\sqrt {1+\exp(t)^{2}}}$ integriert werden. Dabei bietet es sich an, das Integral durch Substitution schrittweise zu vereinfachen. Beispielsweise wird man durch die Substitution ${}u=\exp(t)$ die Exponentialfunktion los. Durch eine weitere Substitution kann man die Wurzel eliminieren. Stößt man dabei auf eine rationale Funktion mit Nenner ${}s^{2}-1$, so lässt sich diese durch Partialbruchzerlegung in zwei Teile mit Nennern ${}s-1$ und ${}s+1$ zerlegen, ähnlich wie in Beispiel 32.7. Dies wurde auch schon in der Rückmeldung zur ersten Woche angesprochen.