Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/y' ist 1 durch t^2-1 mal y/Beispiel

Wir betrachten die homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung ( $t>1$ )

$y^{\prime }=\frac{y}{t^2-1}.$

Um die Lösungen zu bestimmen, brauchen wir eine Stammfunktion zu

$g(t)=\frac{1}{t^2-1}=\frac{1}{(t-1)(t+1)}=\frac{1/2}{t-1}-\frac{1/2}{t+1}.$

Aus der Partialbruchzerlegung gelangt man zur Stammfunktion

$G(t)=\frac{1}{2}\ln (t-1)-\frac{1}{2}\ln (t+1).$

Daher sind die Lösungen nach Fakt gleich

$\begin{array}{cc}c\cdot \exp (\frac{1}{2}\ln (t-1)-\frac{1}{2}\ln (t+1))& =c\frac{\exp (\frac{1}{2}\ln (t-1))}{\exp (\frac{1}{2}\ln (t+1))}\\ & =c\frac{\sqrt{\exp (\ln (t-1))}}{\sqrt{\exp (\ln (t+1))}}\\ & =c\cdot \frac{\sqrt{t-1}}{\sqrt{t+1}}.\end{array}$