Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/y' ist 1 durch t^2-1 mal y/Beispiel

Wir betrachten die homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung (${}t>1$)

${}y'={\frac {y}{t^{2}-1}}\,.$

Um die Lösungen zu bestimmen brauchen wir eine Stammfunktion zu

${}g(t)={\frac {1}{t^{2}-1}}={\frac {1}{(t-1)(t+1)}}={\frac {1/2}{t-1}}-{\frac {1/2}{t+1}}\,.$

Aus der Partialbruchzerlegung gelangt man zur Stammfunktion

${}G(t)={\frac {1}{2}}\ln(t-1)-{\frac {1}{2}}\ln(t+1)\,.$

Daher sind die Lösungen nach Fakt gleich

${}{\begin{aligned}c\cdot \exp {\left({\frac {1}{2}}\ln(t-1)-{\frac {1}{2}}\ln(t+1)\right)}&=c{\frac {\exp \left({\frac {1}{2}}\ln(t-1)\right)}{\exp \left({\frac {1}{2}}\ln(t+1)\right)}}\\&=c{\frac {\sqrt {\exp \left(\ln(t-1)\right)}}{\sqrt {\exp \left(\ln(t+1)\right)}}}\\&=c\cdot {\frac {\sqrt {t-1}}{\sqrt {t+1}}}.\end{aligned}}$