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Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 14/latex

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\setcounter{section}{14}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere das Steigungsdreieck und die Sekante zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^2-3x+5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in den Punkten \mathkor {} {1} {und} {3} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme direkt \zusatzklammer {ohne Verwendung von Ableitungsregeln} {} {} die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3+2x^2-5x+3 } {,} in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \betrag { x } } {,} im Nullpunkt nicht \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{,} die im Punkt $x$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} sei. Zeige, dass $f$ auch im Punkt $-x$ differenzierbar ist und dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(-x) }
{ =} { -f'(x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.


\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} { \R } {x} {f(x)=x^n } {,}

für jedes $n \in \N$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann einen \definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq d$ besitzt \zusatzklammer {oder
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ P }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist} {} {,} wenn die $(d+1)$-te \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von $P$ das Nullpolynom ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme zu einem \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2+a_1x+a_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {lineare Approximation}{}{} \zusatzklammer {einschließlich der Restfunktion $r(x)$} {} {} im Nullpunkt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige über eine Betrachtung von \definitionsverweis {Funktionslimiten}{}{,} dass eine in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} \maabb {f} {D} {\R } {} in diesem Punkt insbesondere \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die \definitionsverweis {Funktionslimiten}{}{} für die \definitionsverweis {Differenzenquotienten}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\mathl{\exp x}{} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist und bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{.}

}
{} {Man verwende die Definition über den Funktionslimes der Differenzenquotienten. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion hilft.}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme zur \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\mathl{\exp x}{} die \definitionsverweis {lineare Approximation}{}{} \zusatzklammer {einschließlich der Restfunktion $r(x)$} {} {} im Nullpunkt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{0\}} { \R } {x} {f(x)=x^n } {}

für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{0\}} { \R } {x} {f(x)= \frac{x^2+ 1 }{ x^3} } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} einer \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} wieder eine rationale Funktion ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \maabbdisp {g,h} {\R} {\R_+ } {} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ \defeq} { { \frac{ g(x) }{ h(x)^n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass man die Ableitung von $f$ als einen Bruch mit
\mathl{h(x)^{n+1}}{} im Nenner schreiben kann.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \maabbdisp {g_1,g_2 , \ldots , g_n} {\R} {\R \setminus \{0\} } {} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Beweise durch Induktion über $n$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \right) }^\prime }
{ =} { { \frac{ - 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \cdot { \left( { \frac{ g_1' }{ g_1 } } + { \frac{ g_2' }{ g_2 } } + \cdots + { \frac{ g_n' }{ g_n } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ = }{ x^3+4x^2-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(y) }
{ = }{ y^2-y+2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x) }
{ = }{ g(f(x)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} direkt und mittels der Kettenregel.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{ { \frac{ x^2-3 }{ x+2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(y) }
{ = }{ { \frac{ y+4 }{ y^2-5 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir betrachten die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x) }
{ \defeq }{ g(f(x)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Berechne $h$ \zusatzklammer {das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen} {} {.} }{Berechne die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von $h$ mit Hilfe von Teil 1. }{Berechne die Ableitung von $h$ mit Hilfe der Kettenregel. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} zwei \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Funktionen und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x) }
{ =} { (g(f(x)))^2 f(g(x)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Drücke die Ableitung $h'$ mit den Ableitungen von \mathkor {} {f} {und} {g} {} aus.

b) Es sei nun
\mathdisp {f(x)=x^2-1 \text{ und } g(x) =x+2} { . }
Berechne $h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über $h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x)=x^{\frac{1}{n} } } {,}  für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine bijektive differenzierbare Funktion mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x) }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und der Umkehrfunktion $f^{-1}$. Was ist an folgendem \anfuehrung{Beweis}{} für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f \circ f^{-1} \right) } (y) }
{ =} { y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f' { \left( f^{-1}(y) \right) } { \left( f^{-1} \right) }' (y) }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^{-1} \right) }' (y) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ f' { \left( f^{-1}(y) \right) } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} mit der Eigenschaft, dass die Funktion
\mathl{x \mapsto f { \left( \betrag { x } \right) }}{} differenzierbar ist.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\alpha} {\R} {\R } {,} deren \definitionsverweis {Graph}{}{} durch die beiden Punkte \mathkor {} {(-2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {ungerade}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} $f'$ \definitionsverweis {gerade}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge und seien \maabbdisp {f_i} {D} { \R , \, i = 1 , \ldots , n } {,} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \prod_{i = 1}^nf_i \right) }' }
{ =} { \sum_{i = 1}^n f_i' \cdot \prod_{j = 1,j\neq i}^nf_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Tangenten}{}{} an den Graphen zur Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{x^3-x^2-x+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die parallel zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ = }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} { \R } {x} {f(x)= \frac{x^2+x-1 }{ x^3-x+2} } {,}

wobei $D$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{7 (2+2+3)}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{ { \frac{ x^2+5x-2 }{ x+1 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(y) }
{ = }{ { \frac{ y-2 }{ y^2+3 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x) }
{ \defeq }{ g(f(x)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{.} \aufzaehlungdrei{Berechne $h$ \zusatzklammer {das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen} {} {.} }{Berechne die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von $h$ mit Hilfe von Teil 1. }{Berechne die Ableitung von $h$ mit Hilfe der Kettenregel. }

}
{} {}