Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 14/latex
\setcounter{section}{14}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere das Steigungsdreieck und die Sekante zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-3x+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in den Punkten
\mathkor {} {1} {und} {3} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme direkt
\zusatzklammer {ohne Verwendung von Ableitungsregeln} {} {}
die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x) = x^3+2x^2-5x+3 } {,}
in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \betrag { x } } {,} im Nullpunkt nicht \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {gerade Funktion}{}{,}
die im Punkt $x$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
sei. Zeige, dass $f$ auch im Punkt $-x$ differenzierbar ist und dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(-x)
}
{ =} { -f'(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} { \R } {x} {f(x)=x^n } {,}
für jedes $n \in \N$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann einen
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$\leq d$ besitzt
\zusatzklammer {oder
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist} {} {,}
wenn die $(d+1)$-te
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
von $P$ das Nullpolynom ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme zu einem
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2+a_1x+a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {lineare Approximation}{}{}
\zusatzklammer {einschließlich der Restfunktion $r(x)$} {} {}
im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige über eine Betrachtung von
\definitionsverweis {Funktionslimiten}{}{,}
dass eine in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
\maabb {f} {D} {\R
} {}
in diesem Punkt insbesondere
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die \definitionsverweis {Funktionslimiten}{}{} für die \definitionsverweis {Differenzenquotienten}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\mathl{\exp x}{} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und bestimme die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{.}
}
{} {Man verwende die Definition über den Funktionslimes der Differenzenquotienten. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion hilft.}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme zur
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\mathl{\exp x}{} die
\definitionsverweis {lineare Approximation}{}{}
\zusatzklammer {einschließlich der Restfunktion $r(x)$} {} {}
im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{0\}} { \R } {x} {f(x)=x^n } {}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \setminus \{0\}} { \R } {x} {f(x)= \frac{x^2+ 1 }{ x^3} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} einer \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} wieder eine rationale Funktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabbdisp {g,h} {\R} {\R_+
} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq} { { \frac{ g(x) }{ h(x)^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man die Ableitung von $f$ als einen Bruch mit
\mathl{h^{n+1}(x)}{} im Nenner schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabbdisp {g_1,g_2 , \ldots , g_n} {\R} {\R \setminus \{0\}
} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Beweise durch Induktion über $n$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \right) }^\prime
}
{ =} { { \frac{ - 1 }{ g_1 \cdot g_2 \cdots g_n } } \cdot { \left( { \frac{ g_1' }{ g_1 } } + { \frac{ g_2' }{ g_2 } } + \cdots + { \frac{ g_n' }{ g_n } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ x^3+4x^2-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(y)
}
{ = }{ y^2-y+2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ = }{ g(f(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
direkt und mittels der
Kettenregel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ { \frac{ x^2-3 }{ x+2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(y)
}
{ = }{ { \frac{ y+4 }{ y^2-5 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ \defeq }{ g(f(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Berechne $h$
\zusatzklammer {das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen} {} {.}
}{Berechne die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
von $h$ mit Hilfe von Teil 1.
}{Berechne die Ableitung von $h$ mit Hilfe der
Kettenregel.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {}
zwei
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
Funktionen und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ =} { (g(f(x)))^2 f(g(x))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Drücke die Ableitung $h'$ mit den Ableitungen von \mathkor {} {f} {und} {g} {} aus.
b) Es sei nun
\mathdisp {f(x)=x^2-1 \text{ und } g(x) =x+2} { . }
Berechne $h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über $h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {f(x)=x^{\frac{1}{n} }
} {,}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine bijektive differenzierbare Funktion mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Umkehrfunktion $f^{-1}$. Was ist an folgendem \anfuehrung{Beweis}{} für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f \circ f^{-1} \right) } (y)
}
{ =} { y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit der Kettenregel erhalten wir durch beidseitiges Ableiten die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f' { \left( f^{-1}(y) \right) } { \left( f^{-1} \right) }' (y)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^{-1} \right) }' (y)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ f' { \left( f^{-1}(y) \right) } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer stetigen, nicht differenzierbaren Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit der Eigenschaft, dass die Funktion
\mathl{x \mapsto f { \left( \betrag { x } \right) }}{} differenzierbar ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\alpha} {\R} {\R } {,} deren \definitionsverweis {Graph}{}{} durch die beiden Punkte \mathkor {} {(-2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {ungerade}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} $f'$ \definitionsverweis {gerade}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und seien
\maabbdisp {f_i} {D} { \R , \, i = 1 , \ldots , n
} {,}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.}
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \prod_{i = 1}^nf_i \right) }'
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n f_i' \cdot \prod_{j = 1,j\neq i}^nf_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Tangenten}{}{}
an den Graphen zur Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x^3-x^2-x+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die parallel zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} { \R } {x} {f(x)= \frac{x^2+x-1 }{ x^3-x+2} } {,}
wobei $D$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{7 (2+2+3)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ { \frac{ x^2+5x-2 }{ x+1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(y)
}
{ = }{ { \frac{ y-2 }{ y^2+3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h(x)
}
{ \defeq }{ g(f(x))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Berechne $h$
\zusatzklammer {das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen} {} {.}
}{Berechne die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
von $h$ mit Hilfe von Teil 1.
}{Berechne die Ableitung von $h$ mit Hilfe der
Kettenregel.
}
}
{} {}