Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 14

Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere das Steigungsdreieck und die Sekante zur Funktion

f (x) = x^{2} - 3 x + 5

in den Punkten $1$ und $3$ .

Aufgabe *

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

f : ℝ ⟶ ℝ, x ⟼ f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + 3,

in einem beliebigen Punkt $a \in ℝ$ .

Aufgabe *

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

ℝ ⟶ ℝ, x ⟼ | x |,

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Aufgabe

Es sei $f : ℝ \to ℝ$ eine gerade Funktion, die im Punkt $x$ differenzierbar sei. Zeige, dass $f$ auch im Punkt $- x$ differenzierbar ist und dass die Beziehung

f^{'} (- x) = - f^{'} (x)

gilt.

Die folgende Aufgabe löse man sowohl direkt als auch mittels der Ableitungsregeln.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

f : ℝ ⟶ ℝ, x ⟼ f (x) = x^{n},

für jedes $n \in ℕ$ .

Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom $P \in ℝ [X]$ genau dann einen Grad $\leq d$ besitzt (oder $P = 0$ ist), wenn die $(d + 1)$ -te Ableitung von $P$ das Nullpolynom ist.

Aufgabe

Bestimme zu einem Polynom

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion $r (x)$ ) im Nullpunkt.

Aufgabe

Zeige über eine Betrachtung von Funktionslimiten, dass eine in einem Punkt $a \in D$ differenzierbare Funktion $f : D \to ℝ$ in diesem Punkt insbesondere stetig ist.

Aufgabe *

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.

Aufgabe

Zeige, dass die Exponentialfunktion $\exp x$ in jedem Punkt $a \in ℝ$ differenzierbar ist und bestimme die Ableitung.

Man verwende die Definition über den Funktionslimes der Differenzenquotienten. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion hilft.

Aufgabe

Bestimme zur Exponentialfunktion $\exp x$ die lineare Approximation (einschließlich der Restfunktion $r (x)$ ) im Nullpunkt.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

f : ℝ ∖ {0} ⟶ ℝ, x ⟼ f (x) = x^{n}

für jedes $n \in ℤ$ .

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

f : ℝ ∖ {0} ⟶ ℝ, x ⟼ f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{3}} .

Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.

Aufgabe *

Es seien

g, h : ℝ ⟶ ℝ_{+}

differenzierbare Funktionen und

f (x) := \frac{g (x)}{h (x)^{n}}

mit $n \in ℕ_{+}$ . Zeige, dass man die Ableitung von $f$ als einen Bruch mit $h (x)^{n + 1}$ im Nenner schreiben kann.

Aufgabe *

Es seien

g_{1}, g_{2}, \dots, g_{n} : ℝ ⟶ ℝ ∖ {0}

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über $n$ die Beziehung

{(\frac{1}{g_{1} \cdot g_{2} \dots g_{n}})}^{'} = \frac{- 1}{g_{1} \cdot g_{2} \dots g_{n}} \cdot (\frac{{g_{1}}^{'}}{g_{1}} + \frac{{g_{2}}^{'}}{g_{2}} + \dots + \frac{{g_{n}}^{'}}{g_{n}}) .

Aufgabe

Es sei $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 1$ und $g (y) = y^{2} - y + 2$ . Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung $h (x) = g (f (x))$ direkt und mittels der Kettenregel.

Aufgabe *

Es sei $f (x) = \frac{x^{2} - 3}{x + 2}$ und $g (y) = \frac{y + 4}{y^{2} - 5}$ . Wir betrachten die Hintereinanderschaltung $h (x) := g (f (x))$ .

Berechne $h$ (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
Berechne die Ableitung von $h$ mithilfe von Teil 1.
Berechne die Ableitung von $h$ mithilfe der Kettenregel.

Aufgabe *

Es seien

f, g : ℝ ⟶ ℝ

zwei differenzierbare Funktionen und sei

h (x) = (g (f (x)))^{2} f (g (x)) .

a) Drücke die Ableitung $h^{'}$ mit den Ableitungen von $f$ und $g$ aus.

b) Es sei nun

f (x) = x^{2} - 1 und g (x) = x + 2.

Berechne $h^{'} (x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über $h (x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

f : ℝ_{+} ⟶ ℝ, x ⟼ f (x) = x^{\frac{1}{n}},

für jedes $n \in ℕ_{+}$ .

Aufgabe *

Es sei

f : ℝ ⟶ ℝ

eine bijektive differenzierbare Funktion mit $f^{'} (x) \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ und der Umkehrfunktion $f^{- 1}$ . Was ist an folgendem „Beweis“ für die Ableitung der Umkehrfunktion nicht korrekt?