Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 31/latex
\setcounter{section}{31}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Die Süddeutsche Zeitung schrieb am 10.3.2020 unter dem Titel \anfuehrung{Die Wucht der großen Zahl}{} (von Christian Endt, Michael Mainka und Sören Müller-Hansen):
\anfuehrung{Um zu verstehen, warum das neue Coronavirus so gefährlich ist, muss man sich klarmachen, was exponentielles Wachstum bedeutet. Der Begriff ist etwas sperrig, das Konzept dahinter aber einfach. Es geht um eine Vermehrung, die sich ständig selbst beschleunigt. Und dieses Muster lässt sich auch beim Coronavirus erkennen. Das ist der Hintergrund, warum nun immer strengere Auflagen verhängt werden, Fußballspiele ohne Publikum ausgetragen, Feste und Kongresse abgesagt werden. Und warum Gesundheitsminister Jens Spahn, Kanzlerin Angela Merkel und andere davon sprechen, man müsse die Ausbreitung des Virus verlangsamen. Sprich: Verhindern, dass es sich exponentiell verbreitet.}{}
\aufzaehlungvier{Beschleunigt sich lineares Wachstum \anfuehrung{ständig selbst}{?}
}{Beschleunigt sich quadratisches Wachstum wie bei der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\anfuehrung{ständig selbst}{?}
}{Wie kann man exponentielles Wachstum charakterisieren?
}{Wenn man exponentielles Wachstum \anfuehrung{verlangsamen}{} möchte, verhindert man dann exponentielles Wachstum oder ändert man Parameter
\zusatzklammer {welche} {?} {}
für exponentielles Wachstum?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ = }{a^x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
zur Basis $a$. Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(x+w)
}
{ = }{ 2 g(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgeben. Zeige, dass es eine Exponentialfunktion
\mathl{b^x}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^{x+w}
}
{ =} { 2 b^x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x+1)
}
{ = }{ 2 f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die keine Exponentialfunktion ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c,d
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Differentialgleichung mit Verzögerung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'(t)
}
{ =} { c(y(t) -y(t-d))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Lösung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ =} { \alpha t + \beta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde alle Lösungen zur
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde alle Lösungen zur
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {cy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=2 \text{ mit } y (5) = 3} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= 3t^2-3t+4 \text{ mit } y(-1) = -5} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= 3t^3-2t+5 \text{ mit } y(3) = 4} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= \sin t \text{ mit } y(\pi) = 7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer
\definitionsverweis {ortsunabhängigen Differentialgleichung}{}{}
der Abstand zwischen zwei Lösungen
\mathkor {} {y_1} {und} {y_2} {}
zeitunabhängig ist, d.h. dass
\mathl{y_1(t)- y_2(t)}{}
\definitionsverweis {konstant}{}{}
ist.
Man gebe ein Beispiel, dass dies bei \definitionsverweis {zeitunabhängigen Differentialgleichungen}{}{} nicht der Fall sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die sowohl zeit- als auch ortsunabhängig sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie sieht der \definitionsverweis {Graph}{}{} einer \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {\R \times \R} {\R } {} aus, die nur von einer Variablen abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D(I,\R)
}
{ =} { { \left\{ f:I \rightarrow \R \mid f \text{ differenzierbar} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der
\definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{.}
Zeige, dass $D(I,\R)$ ein
\definitionsverweis {reeller}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
ist und dass die Ableitung
\maabbeledisp {} {D(I,\R)} { \operatorname{Abb} \, { \left( I , \R \right) }
} {f} {f'
} {,}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
ist. Bestimme den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
dieser Abbildung und seine
\definitionsverweis {Dimension}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D(\R,\R)
}
{ =} { { \left\{ f:\R \rightarrow \R \mid f \text{ unendlich oft differenzierbar} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der unendlich oft
\definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
und die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
der
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
der
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\maabbeledisp {} {D(\R,\R)} { D(\R,\R)
} {f} {f'
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {c y^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{Finde eine inhaltliche Interpretation zu dieser Differentialgleichung analog zu
Beispiel 31.14.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mathl{y(x)=x^n}{}
\zusatzklammer {\mathlk{n \in \N_+}{}} {} {}
eine Lösung der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {n y^{ { \frac{ n-1 }{ n } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{\R_+}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Es sei
\maabbdisp {f} {\R \times \R} {\R
} {}
ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(t,y)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{(t,y) \in \R^2}{.} Zeige, dass jede
\definitionsverweis {Lösungskurve}{}{}
zur
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {f(t,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
b) Es sei $f$ nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass $f$ genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.
c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
\mathl{y(t)}{}
\zusatzklammer {nicht die Nullfunktion} {} {,}
die die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'(t)
}
{ =} {y(t-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt
\zusatzklammer {dabei ist \mathlk{y(t-1)}{} als der Wert der Funktion $y$ an der Stelle \mathlk{t-1}{} zu verstehen, nicht als das Produkt der Funktionsvariablen $y$ mit
\mathl{t-1}{;} es handelt sich also
\betonung{nicht}{} um eine Differentialgleichung} {} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= 3t^2-4t+7 \text{ mit } y(2) = 5} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde eine Lösung zur
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { y+t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ t^3 }{ t^2+1 } } \text{ mit } y(1) = 2} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Löse das Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sinh t } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{\R_+}{} mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(1)
}
{ = }{ 7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {Tipp: Man schreibe Sinus hyperbolicus mit der Exponentialfunktion, führe die Substitution
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{e^t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch und finde so eine Stammfunktion.}
\inputaufgabe
{5}
{
Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unendlich oft differenzierbare Funktionen
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {f(x)
} {,}
derart gibt, dass die $n$-te Ableitung
\mathl{f^{(n)}}{} mit $f$ übereinstimmt, die Ableitungen
\mathbed {f^{(i)}} {}
{1 \leq i < n} {}
{} {} {} {,}
aber nicht.
}
{} {Tipp=Denke an Potenzreihen.}